ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что окружность \((x + 6)^2 + (y — 3)^2 = 36\):
1) касается оси ординат;
2) пересекает ось абсцисс;
3) не имеет общих точек с прямой \(y = 10\).

Окружность \((x + 6)^2 + (y — 3)^2 = 36\) имеет центр в точке \((-6, 3)\) и радиус 6. Она касается оси ординат, так как расстояние от центра до оси (6) равно радиусу. Окружность пересекает ось абсцисс, что можно подтвердить, подставив \(y = 0\) в уравнение и получив два решения для \(x\): \(-6 + 3\sqrt{3}\) и \(-6 — 3\sqrt{3}\). Кроме того, подставив \(y = 10\) в уравнение окружности, мы получаем \((x + 6)^2 = -13\), что не имеет решений, следовательно, окружность не имеет общих точек с прямой \(y = 10\).

Окружность задана уравнением \((x + 6)^2 + (y — 3)^2 = 36\). Для анализа ее свойств найдем центр и радиус. Центр окружности находится в точке \((-6, 3)\), а радиус равен \(r = \sqrt{36} = 6\).

Чтобы доказать, что окружность касается оси ординат, определим расстояние от центра окружности до этой оси. Ось ординат имеет уравнение \(x = 0\). Расстояние от центра окружности до оси ординат вычисляется как модуль абсциссы центра: \(d = |-6| = 6\). Поскольку это расстояние равно радиусу окружности, то она действительно касается оси ординат.

Теперь проверим, пересекает ли окружность ось абсцисс. Ось абсцисс описывается уравнением \(y = 0\). Подставим \(y = 0\) в уравнение окружности: \((x + 6)^2 + (0 — 3)^2 = 36\). Это уравнение преобразуется следующим образом:

\((x + 6)^2 + 9 = 36\)

\((x + 6)^2 = 36 — 9\)

\((x + 6)^2 = 27\)

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

\(x + 6 = \pm \sqrt{27}\)

Это дает два решения:

\(x = -6 + 3\sqrt{3}\) и \(x = -6 — 3\sqrt{3}\).

Таким образом, окружность пересекает ось абсцисс в двух точках: \((-6 + 3\sqrt{3}, 0)\) и \((-6 — 3\sqrt{3}, 0)\).

Теперь разберем ситуацию с прямой \(y = 10\). Чтобы определить, имеет ли окружность общие точки с этой прямой, подставим \(y = 10\) в уравнение окружности:

\((x + 6)^2 + (10 — 3)^2 = 36\)

Это уравнение можно упростить:

\((x + 6)^2 + 49 = 36\)

\((x + 6)^2 = 36 — 49\)

\((x + 6)^2 = -13\).

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, уравнение \((x + 6)^2 = -13\) не имеет решений. Это означает, что окружность не пересекается с прямой \(y = 10\) и не имеет с ней общих точек.

Таким образом, мы пришли к выводу, что окружность касается оси ординат, пересекает ось абсцисс в двух точках и не имеет общих точек с прямой \(y = 10\).