ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Установите, является ли данное уравнение уравнением окружноcти. В случае утвердительного ответа укажите координаты цен- тра и радиус R этой окружности:
1) \(x^2 + 2x + y^2 — 10y — 23 = 0\);
2) \(x^2 — 12x + y^2 + 4y + 40 = 0\);
3) \(x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0\);
4) \(x^2 + y^2 — 4x — 14y + 51 = 0\).

Уравнение \(x^2 + 2x + y^2 — 10y — 23 = 0\) описывает окружность с центром \((-1, 5)\) и радиусом \(7\). Уравнение \(x^2 — 12x + y^2 + 4y + 40 = 0\) также описывает окружность с центром \((6, -2)\) и радиусом \(0\) (это точка). Уравнение \(x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0\) не является уравнением окружности, так как радиус отрицательный. Уравнение \(x^2 + y^2 — 4x — 14y + 51 = 0\) описывает окружность с центром \((2, 7)\) и радиусом \(\sqrt{2}\).

Уравнение \(x^2 + 2x + y^2 — 10y — 23 = 0\) можно привести к стандартному виду уравнения окружности. Сначала перенесем все члены в одну сторону: \(x^2 + 2x + y^2 — 10y = 23\). Затем сгруппируем квадратные члены. Для \(x\) имеем \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 — 1\). Для \(y\) получаем \(y^2 — 10y = (y — 5)^2 — 25\). Подставив обратно, получаем \((x + 1)^2 — 1 + (y — 5)^2 — 25 = 23\), что упрощается до \((x + 1)^2 + (y — 5)^2 — 26 = 23\) и, в конечном итоге, \((x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 49\). Таким образом, центр окружности находится в точке \((-1, 5)\), а радиус равен \(R = 7\).

Для второго уравнения \(x^2 — 12x + y^2 + 4y + 40 = 0\) также начнем с переноса всех членов: \(x^2 — 12x + y^2 + 4y = -40\). Группируем квадратные члены: \(x^2 — 12x = (x — 6)^2 — 36\) и \(y^2 + 4y = (y + 2)^2 — 4\). Подставляя, получаем \((x — 6)^2 — 36 + (y + 2)^2 — 4 = -40\), что упрощается до \((x — 6)^2 + (y + 2)^2 — 40 = -40\). В итоге, \((x — 6)^2 + (y + 2)^2 = 0\). Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((6, -2)\) и радиусом \(R = 0\), что означает, что это просто точка.

Теперь рассмотрим третье уравнение \(x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0\). Переносим все члены: \(x^2 + 8x + y^2 + 6y = -34\). Группируем: \(x^2 + 8x = (x + 4)^2 — 16\) и \(y^2 + 6y = (y + 3)^2 — 9\). Подставляя, получаем \((x + 4)^2 — 16 + (y + 3)^2 — 9 = -34\), что приводит к \((x + 4)^2 + (y + 3)^2 — 25 = -34\). Это упрощается до \((x + 4)^2 + (y + 3)^2 = -9\). Поскольку радиус не может быть отрицательным, это уравнение не описывает окружность.

Наконец, уравнение \(x^2 + y^2 — 4x — 14y + 51 = 0\) также приводим к стандартному виду: \(x^2 — 4x + y^2 — 14y = -51\). Группируем: \(x^2 — 4x = (x — 2)^2 — 4\) и \(y^2 — 14y = (y — 7)^2 — 49\). Подставив обратно, получаем \((x — 2)^2 — 4 + (y — 7)^2 — 49 = -51\), что приводит к \((x — 2)^2 + (y — 7)^2 — 53 = -51\). В итоге, \((x — 2)^2 + (y — 7)^2 = 2\). Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((2, 7)\) и радиусом \(R = \sqrt{2}\).