ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружно- сти, и укажите координаты центра и радиус R этой окружности:
1) \(x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0\);
2) \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\).

Для уравнения \(x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0\) преобразуем его в стандартный вид: \(x^2 + (y + 8)^2 = 4\), что соответствует окружности с центром \((0, -8)\) и радиусом \(R = 2\). Для второго уравнения \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\) приводим к виду \((x — 4)^2 + (y + 2)^2 = 5\), что дает окружность с центром \((4, -2)\) и радиусом \(R = \sqrt{5}\).

Для уравнения \(x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0\) сначала перенесем все члены в одну сторону, получая \(x^2 + y^2 + 16y = -60\). Затем выделим полный квадрат для \(y\): \(y^2 + 16y\) можно представить как \((y + 8)^2 — 64\). Подставив это в уравнение, получаем \(x^2 + (y + 8)^2 — 64 = -60\), что упрощается до \(x^2 + (y + 8)^2 = 4\). Таким образом, уравнение окружности имеет вид \((x — 0)^2 + (y + 8)^2 = 2^2\), где центр окружности находится в точке \((0, -8)\), а радиус равен \(R = 2\).

Теперь рассмотрим второе уравнение \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\). Переносим все члены в одну сторону, получая \(x^2 — 8x + y^2 + 4y = -15\). Для выделения полного квадрата для \(x\) используем \(x^2 — 8x\), что можно записать как \((x — 4)^2 — 16\). Для \(y\) выделим квадрат: \(y^2 + 4y\) представляется как \((y + 2)^2 — 4\). Подставив эти выражения в уравнение, получаем \((x — 4)^2 — 16 + (y + 2)^2 — 4 = -15\), что упрощается до \((x — 4)^2 + (y + 2)^2 — 20 = -15\). Далее, это упрощается до \((x — 4)^2 + (y + 2)^2 = 5\). Таким образом, уравнение окружности имеет вид \((x — 4)^2 + (y + 2)^2 = (\sqrt{5})^2\), где центр окружности находится в точке \((4, -2)\), а радиус равен \(R = \sqrt{5}\).