ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты фокусов гиперболы \(\frac{x^2}{5} — \frac{y^2}{11} = 1\).

Для гиперболы, заданной уравнением \(\frac{x^2}{5} — \frac{y^2}{11} = 1\), параметры \(a\) и \(b\) равны \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{11}\) соответственно. Расстояние до фокусов \(c\) вычисляется по формуле \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5 + 11} = 4\). Таким образом, координаты фокусов гиперболы находятся в точках \((4, 0)\) и \((-4, 0)\).

Для гиперболы, заданной уравнением \(\frac{x^2}{5} — \frac{y^2}{11} = 1\), мы можем начать с анализа ее стандартной формы. Это уравнение представляет собой гиперболу, которая открыта по горизонтали, так как положительный член находится перед \(x^2\). В общем виде уравнение гиперболы выглядит как \(\frac{x^2}{a^2} — \frac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a\) и \(b\) — это параметры, определяющие форму и размеры гиперболы.

Первым шагом является определение значений \(a^2\) и \(b^2\). В нашем случае, из уравнения видно, что \(a^2 = 5\) и \(b^2 = 11\). Чтобы найти значения \(a\) и \(b\), мы извлекаем квадратные корни. Таким образом, получаем \(a = \sqrt{5}\) и \(b = \sqrt{11}\). Эти значения важны, так как они определяют расстояния от центра гиперболы до её вершин и асимптот.

Следующим шагом является нахождение расстояния до фокусов гиперболы. Фокусы гиперболы находятся на оси \(x\) и вычисляются с использованием формулы \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Это расстояние \(c\) показывает, насколько далеко расположены фокусы от центра гиперболы. Подставим найденные значения:

\[
c = \sqrt{5 + 11} = \sqrt{16} = 4.
\]

Теперь, зная значение \(c\), мы можем определить координаты фокусов. Поскольку гипербола открыта по горизонтали, фокусы будут находиться на оси \(x\) в точках, равных \(c\) и \(-c\). Таким образом, координаты фокусов будут \((c, 0)\) и \((-c, 0)\). Подставляя значение \(c\), получаем:

\[
(4, 0) \quad \text{и} \quad (-4, 0).
\]

Итак, фокусы гиперболы, заданной уравнением \(\frac{x^2}{5} — \frac{y^2}{11} = 1\), находятся в точках \((4, 0)\) и \((-4, 0)\). Эти точки являются ключевыми для понимания геометрии гиперболы, так как они определяют ее фокусное расстояние и помогают в построении графика гиперболы. Фокусы играют важную роль в различных приложениях, таких как оптика и физика, где гиперболы используются для описания траекторий частиц и световых лучей.