ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Какую фигуру задаёт уравнение:
1) \(2x — 3y = 5\);
2) \(x^2 + 2y^2 = 2\);
3) \(x^2 — y^2 = 1\)?
Уравнение \(2x — 3y = 5\) задаёт прямую, которую можно представить в виде \(y = \frac{2}{3}x — \frac{5}{3}\). Уравнение \(x^2 + 2y^2 = 2\) описывает эллипс, приводя его к стандартному виду \(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1\), где полуоси равны \(\sqrt{2}\) по оси \(x\) и \(1\) по оси \(y\). Уравнение \(x^2 — y^2 = 1\) представляет гиперболу, которую можно записать в виде \(\frac{x^2}{1} — \frac{y^2}{1} = 1\), открывающуюся вдоль оси \(x\).
Уравнение \(2x — 3y = 5\) представляет собой прямую линию в двумерном пространстве. Чтобы понять его геометрическую интерпретацию, можно привести уравнение к стандартному виду \(y = mx + b\), где \(m\) — угловой коэффициент, а \(b\) — значение \(y\) при \(x = 0\). Перепишем уравнение: \(3y = 2x — 5\) или \(y = \frac{2}{3}x — \frac{5}{3}\). Угловой коэффициент \(\frac{2}{3}\) показывает, что прямая поднимается с наклоном, равным двум третьим, а свободный член \(-\frac{5}{3}\) указывает на то, что прямая пересекает ось \(y\) в точке \((0, -\frac{5}{3})\). Таким образом, это уравнение описывает прямую, которая проходит через эти координаты.
Уравнение \(x^2 + 2y^2 = 2\) описывает эллипс. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо разделить все члены на 2: \(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1\). Здесь видно, что полуоси эллипса равны \(\sqrt{2}\) по оси \(x\) и \(1\) по оси \(y\). Это означает, что эллипс вытянут вдоль оси \(x\) и сжат вдоль оси \(y\). Центр эллипса находится в начале координат \((0, 0)\), а его форма симметрична относительно обеих осей.
Уравнение \(x^2 — y^2 = 1\) задаёт гиперболу. Для понимания её формы, можно привести уравнение к стандартному виду гиперболы: \(\frac{x^2}{1} — \frac{y^2}{1} = 1\). Это указывает на то, что гипербола открыта вдоль оси \(x\) и имеет центр в начале координат. Гипербола будет иметь асимптоты, которые можно найти из уравнения \(y = \pm x\). Эти асимптоты показывают, как ведет себя гипербола, когда \(x\) стремится к бесконечности. Таким образом, уравнение описывает две ветви гиперболы, которые расходятся в обе стороны вдоль оси \(x\).
