ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какую фигуру задаёт уравнение:

1) \(y = 2x^2 — x + 2\);

2) \(x^2 + y^2 = 5\);

3) \(x^2 — y^2 = 2\)?

Уравнение \(y = 2x^2 — x + 2\) задаёт параболу, открывающуюся вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен. Уравнение \(x^2 + y^2 = 5\) описывает круг с центром в (0, 0) и радиусом \(\sqrt{5}\). Уравнение \(x^2 — y^2 = 2\) представляет гиперболу, открывающуюся по оси x с центром в (0, 0).

Уравнение \(y = 2x^2 — x + 2\) задаёт параболу. Это уравнение является квадратичным, где \(a = 2\), \(b = -1\) и \(c = 2\). Парабола открыта вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен. Вершина параболы находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\). Подставляя это значение в уравнение, получаем координаты вершины: \(y = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 — \frac{1}{4} + 2 = 2 — \frac{1}{4} + 2 = \frac{15}{4}\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{1}{4}, \frac{15}{4}\right)\).

Уравнение \(x^2 + y^2 = 5\) описывает круг. Это уравнение имеет вид \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r^2 = 5\), следовательно, радиус круга равен \(r = \sqrt{5}\). Центр круга находится в начале координат, то есть в точке (0, 0). Круг будет иметь все точки, удовлетворяющие условию, что сумма квадратов координат не превышает 5, что можно визуализировать как окружность на плоскости.

Уравнение \(x^2 — y^2 = 2\) представляет гиперболу. Это уравнение можно привести к стандартному виду гиперболы \(\frac{x^2}{a^2} — \frac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a^2 = 2\) и \(b^2\) может быть любым положительным числом. В данном случае, гипербола открывается по оси x, а её фокусы находятся на расстоянии \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2 + b^2}\) от центра, который также расположен в начале координат (0, 0). Гипербола будет иметь асимптоты, которые можно найти по уравнениям \(y = \pm \frac{b}{a}x\).