ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите расстояние между центрами окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y = 9\) и \(x^2 + y^2 — 8x — 4y = 21\).
Чтобы найти расстояние между центрами окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y = 9\) и \(x^2 + y^2 — 8x — 4y = 21\), преобразуем уравнения в стандартный вид. Первая окружность имеет центр \(C_1(1, -2)\), а вторая — \(C_2(4, 2)\). Расстояние между центрами вычисляется по формуле \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\), что дает \(d = \sqrt{(4 — 1)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно 5.
Чтобы найти расстояние между центрами окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y = 9\) и \(x^2 + y^2 — 8x — 4y = 21\), начнем с приведения уравнений окружностей к стандартному виду.
Рассмотрим первое уравнение:
\(x^2 + y^2 — 2x + 4y = 9\).
Группируем члены с \(x\) и \(y\):
\((x^2 — 2x) + (y^2 + 4y) = 9\).
Завершаем квадрат для \(x\):
\(x^2 — 2x = (x — 1)^2 — 1\).
Для \(y\):
\(y^2 + 4y = (y + 2)^2 — 4\).
Подставляем обратно в уравнение:
\((x — 1)^2 — 1 + (y + 2)^2 — 4 = 9\).
Упрощаем:
\((x — 1)^2 + (y + 2)^2 — 5 = 9\),
что дает
\((x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 14\).
Таким образом, центр первой окружности \(C_1\) находится в точке \((1, -2)\).
Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(x^2 + y^2 — 8x — 4y = 21\).
Аналогично группируем:
\((x^2 — 8x) + (y^2 — 4y) = 21\).
Завершаем квадрат для \(x\):
\(x^2 — 8x = (x — 4)^2 — 16\).
Для \(y\):
\(y^2 — 4y = (y — 2)^2 — 4\).
Подставляем обратно:
\((x — 4)^2 — 16 + (y — 2)^2 — 4 = 21\).
Упрощаем:
\((x — 4)^2 + (y — 2)^2 — 20 = 21\),
что дает
\((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 41\).
Центр второй окружности \(C_2\) находится в точке \((4, 2)\).
Теперь находим расстояние \(d\) между центрами \(C_1(1, -2)\) и \(C_2(4, 2)\) по формуле:
\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).
Подставляем значения:
\(d = \sqrt{(4 — 1)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Расстояние между центрами окружностей равно 5.
