ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите расстояние между центрами окружностей
— Первая окружность: \( x^2 + y^2 — 20x — 4y = -68 \)
— Вторая окружность: \( x^2 + y^2 + 4x + 6y = -9 \)

Для нахождения расстояния между центрами окружностей, сначала преобразуем их уравнения в стандартный вид. Первое уравнение \(x^2 + y^2 — 20x — 4y = -68\) преобразуется в \((x — 10)^2 + (y — 2)^2 = 36\), что дает центр \(C_1(10, 2)\). Второе уравнение \(x^2 + y^2 + 4x + 6y = -9\) преобразуется в \((x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4\), давая центр \(C_2(-2, -3)\). Расстояние \(d\) между центрами вычисляется по формуле \(d = \sqrt{((-2) — 10)^2 + ((-3) — 2)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\). Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно \(13\).

Для нахождения расстояния между центрами окружностей, начнем с преобразования уравнений окружностей в стандартный вид.

Первое уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 — 20x — 4y = -68\). Переносим все члены в одну сторону уравнения, получаем \(x^2 — 20x + y^2 — 4y + 68 = 0\). Далее выделим полный квадрат для \(x\) и \(y\). Для \(x\) имеем \(x^2 — 20x = (x — 10)^2 — 100\), а для \(y\) \(y^2 — 4y = (y — 2)^2 — 4\). Подставив эти выражения обратно, получаем \((x — 10)^2 — 100 + (y — 2)^2 — 4 + 68 = 0\), что упрощается до \((x — 10)^2 + (y — 2)^2 — 36 = 0\). В итоге, у нас получается уравнение \((x — 10)^2 + (y — 2)^2 = 36\), что указывает на центр первой окружности \(C_1(10, 2)\).

Теперь рассмотрим второе уравнение окружности \(x^2 + y^2 + 4x + 6y = -9\). Переносим все члены в одну сторону: \(x^2 + 4x + y^2 + 6y + 9 = 0\). Выделяем полный квадрат для \(x\) и \(y\). Для \(x\) получаем \(x^2 + 4x = (x + 2)^2 — 4\), а для \(y\) \(y^2 + 6y = (y + 3)^2 — 9\). Подставляя эти выражения обратно, получаем \((x + 2)^2 — 4 + (y + 3)^2 — 9 + 9 = 0\), что приводит к \((x + 2)^2 + (y + 3)^2 — 4 = 0\). Таким образом, уравнение принимает вид \((x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4\), что указывает на центр второй окружности \(C_2(-2, -3)\).

Теперь, когда мы знаем координаты центров окружностей \(C_1(10, 2)\) и \(C_2(-2, -3)\), можем вычислить расстояние \(d\) между ними. Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставляя координаты, получаем \(d = \sqrt{((-2) — 10)^2 + ((-3) — 2)^2}\). Это упрощается до \(d = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2}\), что в свою очередь равно \(d = \sqrt{144 + 25}\). В итоге, получаем \(d = \sqrt{169}\), что равняется \(13\). Таким образом, расстояние между центрами окружностей составляет \(13\).