ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (-1; -2), В (-1; 2), С (5; 2) является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около этого треугольника

Треугольник с вершинами в точках A(-1, -2), B(-1, 2) и C(5, 2) является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора: \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) (где \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(AC = 2\sqrt{13}\)). Уравнение окружности, описанной около этого треугольника, можно найти, определив центр окружности O(2, 0) и радиус \(R = \sqrt{13}\). Таким образом, уравнение окружности имеет вид \((x — 2)^2 + y^2 = 13\).

Треугольник с вершинами в точках A(-1, -2), B(-1, 2) и C(5, 2) можно проверить на прямоугольность с помощью теоремы Пифагора. Сначала найдем длины его сторон. Длина стороны AB вычисляется по формуле расстояния:

\( AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2} = \sqrt{(-1 — (-1))^2 + (2 — (-2))^2} =\)
\(= \sqrt{0 + 4^2} = 4 \).

Длина стороны BC также вычисляется по аналогичной формуле:

\( BC = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2} = \sqrt{(5 — (-1))^2 + (2 — 2)^2} =\)
\(= \sqrt{6^2 + 0} = 6 \).

Для стороны AC расчет будет следующим:

\( AC = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2} = \sqrt{(5 — (-1))^2 + (2 — (-2))^2} =\)
\(= \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \).

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этих сторон. Сравним сумму квадратов двух сторон с квадратом третьей стороны. Сначала посчитаем \( AB^2 + BC^2 \):

\( AB^2 = 4^2 = 16 \) и \( BC^2 = 6^2 = 36 \), тогда

\( AB^2 + BC^2 = 16 + 36 = 52 \).

Теперь сравним это с \( AC^2 \):

\( AC^2 = (2\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52 \).

Так как \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом в точке B.

Теперь найдем уравнение окружности, описанной около этого треугольника. Центр описанной окружности можно найти через координаты вершин. Для этого используем формулы для координат центра O:

\( D = 2 \cdot (x_A(y_B — y_C) + x_B(y_C — y_A) + x_C(y_A — y_B)) \).

Подставим значения:

\( D = 2 \cdot (-1(2 — 2) + (-1)(2 — (-2)) + 5(-2 — 2)) = 2 \cdot (0 — 4 — 20) = \)
\(=2 \cdot (-24) = -48 \).

Теперь найдем \( x_O \):

\( x_O = \frac{(x_A^2 + y_A^2)(y_B — y_C) + (x_B^2 + y_B^2)(y_C — y_A) + (x_C^2 + y_C^2)(y_A — y_B)}{D} \).

Подставляем значения:

\( x_O = \frac{((-1)^2 + (-2)^2)(2 — 2) + ((-1)^2 + 2^2)(2 — (-2)) + (5^2 + 2^2)(-2 — 2)}{-48} \).

Это дает:

\( x_O = \frac{(1 + 4)(0) + (1 + 4)(4) + (25 + 4)(-4)}{-48} = \frac{0 + 20 — 116}{-48} = \frac{-96}{-48} = 2 \).

Теперь найдем \( y_O \):

\( y_O = \frac{(x_A^2 + y_A^2)(x_C — x_B) + (x_B^2 + y_B^2)(x_A — x_C) + (x_C^2 + y_C^2)(x_B — x_A)}{D} \).

Подставляем значения:

\( y_O = \frac{((-1)^2 + (-2)^2)(5 — (-1)) + ((-1)^2 + 2^2)(-1 — 5) + (5^2 + 2^2)(-1 — (-1))}{-48} \).

Это дает:

\( y_O = \frac{(1 + 4)(6) + (1 + 4)(-6) + (25 + 4)(0)}{-48} = \frac{30 — 30 + 0}{-48} = 0 \).

Таким образом, центр окружности O(2, 0).

Теперь найдем радиус окружности R, который равен расстоянию от центра до одной из вершин, например до A:

\( R = \sqrt{(x_O — x_A)^2 + (y_O — y_A)^2} = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (0 — (-2))^2} =\)
\(= \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \).

Теперь можем записать уравнение окружности с центром (x_O, y_O) и радиусом R:

\( (x — x_O)^2 + (y — y_O)^2 = R^2 \).

Подставляем значения:

\( (x — 2)^2 + (y — 0)^2 = (\sqrt{13})^2 \), что упрощается до

\( (x — 2)^2 + y^2 = 13 \).

Треугольник ABC является прямоугольным, а уравнение окружности, описанной около этого треугольника, имеет вид \( (x — 2)^2 + y^2 = 13 \).