ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки С (-1; 5) и D (6; 4), радиус которой равен 5.

Уравнение окружности, проходящей через точки \( C(-1, 5) \) и \( D(6, 4) \) с радиусом 5, можно записать в виде \( (x — h)^2 + (y — k)^2 = 25 \). Составим систему уравнений на основе расстояния от центра окружности \( (h, k) \) до точек: \( (h + 1)^2 + (k — 5)^2 = 25 \) и \( (h — 6)^2 + (k — 4)^2 = 25 \). Раскрыв скобки и упростив, получаем два уравнения: \( h^2 + 2h + k^2 — 10k + 1 = 0 \) и \( h^2 — 12h + k^2 — 8k + 27 = 0 \). Выразив \( k \) через \( h \) и подставив в одно из уравнений, находим возможные значения центра окружности, например, \( (3, 8) \) и \( (2, 1) \). Таким образом, уравнения окружностей будут: \( (x — 3)^2 + (y — 8)^2 = 25 \) и \( (x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 25 \).

Уравнение окружности, проходящей через точки \( C(-1, 5) \) и \( D(6, 4) \) с радиусом 5, можно записать в виде \( (x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2 \), где \( (h, k) \) — это координаты центра окружности, а \( r \) — радиус. Поскольку радиус равен 5, то \( r^2 = 25 \).

Для нахождения центра окружности запишем два уравнения на основе расстояния от центра до каждой из точек. Для точки \( C(-1, 5) \) получаем:

\((-1 — h)^2 + (5 — k)^2 = 25\), что можно переписать как \( (h + 1)^2 + (k — 5)^2 = 25 \).

Для точки \( D(6, 4) \) у нас будет:

\((6 — h)^2 + (4 — k)^2 = 25\), что можно записать как \( (h — 6)^2 + (k — 4)^2 = 25 \).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( (h + 1)^2 + (k — 5)^2 = 25 \)
2. \( (h — 6)^2 + (k — 4)^2 = 25 \)

Раскроем скобки в первом уравнении:

\( (h + 1)^2 + (k — 5)^2 = 25 \) приводит к \( h^2 + 2h + 1 + k^2 — 10k + 25 = 25 \), что упрощается до \( h^2 + 2h + k^2 — 10k + 1 = 0 \).

Во втором уравнении:

\( (h — 6)^2 + (k — 4)^2 = 25 \) приводит к \( h^2 — 12h + 36 + k^2 — 8k + 16 = 25 \), что упрощается до \( h^2 — 12h + k^2 — 8k + 27 = 0 \).

Теперь у нас есть две квадратные формы:

1. \( h^2 + 2h + k^2 — 10k + 1 = 0 \)
2. \( h^2 — 12h + k^2 — 8k + 27 = 0 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (h^2 — 12h + k^2 — 8k + 27) — (h^2 + 2h + k^2 — 10k + 1) = 0 \)

Это упрощается до:

\(-14h + 2k + 26 = 0\), откуда \( k = 7h — 13 \).

Теперь подставим \( k \) в одно из уравнений, например, в первое:

\( h^2 + 2h + (7h — 13)^2 — 10(7h — 13) + 1 = 0 \).

Раскроем квадрат и упростим:

\( h^2 + 2h + (49h^2 — 182h + 169) — 70h + 130 + 1 = 0 \)

Соберем все слагаемые:

\( 50h^2 — 250h + 300 = 0 \).

Разделим на 50:

\( h^2 — 5h + 6 = 0 \).

Решим это уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \).

Корни:

\( h = \frac{5 \pm 1}{2} \), получаем \( h_1 = 3 \) и \( h_2 = 2 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( k \):

Для \( h = 3 \):

\( k = 7 \cdot 3 — 13 = 21 — 13 = 8 \).

Для \( h = 2 \):

\( k = 7 \cdot 2 — 13 = 14 — 13 = 1 \).

Таким образом, у нас два возможных центра окружности: \( (3, 8) \) и \( (2, 1) \).

Теперь запишем уравнения окружностей:

Для центра \( (3, 8) \):

\( (x — 3)^2 + (y — 8)^2 = 25 \).

Для центра \( (2, 1) \):

\( (x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 25 \).

Таким образом, окончательные уравнения окружностей:

1. \( (x — 3)^2 + (y — 8)^2 = 25 \)
2. \( (x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 25 \).