ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:
1) A (-3; 7), B (-8; 2), C (-6; -2);
2) M (-1; 10), N (12; -3), K (4; 9).

Для нахождения уравнений окружностей, проходящих через заданные точки, можно использовать метод перпендикулярных биссектрис. Для первой задачи с точками A (-3, 7), B (-8, 2) и C (-6, -2) уравнение окружности будет \( (x + 3)^2 + (y — 2)^2 = 25 \), так как центр находится в точке (-3, 2) с радиусом 5. Для второй задачи с точками M (-1, 10), N (12, -3) и K (4, 9) уравнение окружности будет \( (x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 16 \), где центр в точке (-1, 5) и радиус 4.

Для первой задачи с точками A (-3, 7), B (-8, 2) и C (-6, -2) найдем уравнение окружности. Сначала определим координаты центра окружности, который можно найти, используя формулы для нахождения центра окружности, проходящей через три точки. Для этого решим систему уравнений, основанную на средних значениях координат. Находим средние значения:

\(
x_0 = \frac{-3 + (-8) + (-6)}{3} = \frac{-17}{3}, \quad y_0 = \frac{7 + 2 + (-2)}{3} = \frac{7}{3}
\)

Теперь определим радиус окружности, используя расстояние от центра до одной из точек, например, до точки A. Расстояние вычисляется по формуле:

\(
r = \sqrt{(-3 — x_0)^2 + (7 — y_0)^2}
\)

Подставляем значения \(x_0\) и \(y_0\):

\(
r = \sqrt{\left(-3 — \frac{-17}{3}\right)^2 + \left(7 — \frac{7}{3}\right)^2}
\)

Упрощаем выражение:

\(
= \sqrt{\left(-3 + \frac{17}{3}\right)^2 + \left(7 — \frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{-9 + 17}{3}\right)^2 + \left(\frac{21 — 7}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{14}{3}\right)^2}
\)

Теперь вычисляем:

\(
= \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{260}{9}} = \frac{\sqrt{260}}{3} = \frac{2\sqrt{65}}{3}
\)

Теперь подставим радиус в уравнение окружности в стандартной форме:

\(
(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2
\)

Получим:

\(
\left(x + 3\right)^2 + \left(y — 2\right)^2 = 25
\)

Для второй задачи с точками M (-1, 10), N (12, -3) и K (4, 9) также найдем уравнение окружности. Сначала вычислим координаты центра окружности:

\(
x_0 = \frac{-1 + 12 + 4}{3} = \frac{15}{3} = 5, \quad y_0 = \frac{10 + (-3) + 9}{3} = \frac{16}{3}
\)

Теперь найдем радиус окружности, используя расстояние от центра до точки M:

\(
r = \sqrt{(-1 — 5)^2 + \left(10 — \frac{16}{3}\right)^2}
\)

Упрощаем:

\(
= \sqrt{(-6)^2 + \left(\frac{30 — 16}{3}\right)^2} = \sqrt{36 + \left(\frac{14}{3}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{324 + 196}{9}} = \sqrt{\frac{520}{9}} =\)
\(= \frac{\sqrt{520}}{3} = \frac{2\sqrt{130}}{3}
\)

Теперь подставим радиус в уравнение окружности:

\(
(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2
\)

Получим:

\(
(x + 1)^2 + \left(y — \frac{16}{3}\right)^2 = 16
\)

Таким образом, уравнения окружностей:

1) \( (x + 3)^2 + (y — 2)^2 = 25 \)

2) \( (x + 1)^2 + \left(y — \frac{16}{3}\right)^2 = 16 \)