ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Исследуйте взаимное расположение двух окружностей:
1) \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 4 = 0\) и \(x^2 — 8x + y^2 + 12 = 0\);
2) \(x^2 + y^2 — 4x — 4y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 — 10x — 12y + 52 = 0\);
3) \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 4x — 4y — 28 = 0\);
4) \(x^2 + y^2 = 81\) и \(x^2 + y^2 + 2x — 2y — 2= 0\);
5) \(x^2 + y^2 + 6x — 4y + 3 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 6x — 4y — 7 = 0\).
Исследуем взаимное расположение окружностей. Для первой пары окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 4 = 0\) и \(x^2 — 8x + y^2 + 12 = 0\) центры находятся на расстоянии \(\sqrt{13}\), что больше суммы радиусов (3), значит, они не пересекаются. Вторая пара окружностей \(x^2 + y^2 — 4x — 4y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 — 10x — 12y + 52 = 0\) касаются внешне, так как расстояние между центрами равно сумме радиусов (5). Третья пара окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 4x — 4y — 28 = 0\) пересекаются, так как расстояние между центрами (5) меньше суммы радиусов (7). Четвёртая пара окружностей \(x^2 + y^2 = 81\) и \(x^2 + y^2 + 2x — 2y — 2 = 0\) также пересекаются, так как расстояние между центрами (\(\sqrt{2}\)) меньше суммы радиусов (11). Пятая пара окружностей \(x^2 + y^2 + 6x — 4y + 3 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 6x — 4y — 7 = 0\) касаются внутренне, так как расстояние между центрами (0) равно радиусу второй окружности (0).
Для первой пары окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 4 = 0\) и \(x^2 — 8x + y^2 + 12 = 0\) преобразуем уравнения к стандартному виду. Первое уравнение можно записать как \((x^2 — 2x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0\). Завершим квадрат: \((x — 1)^2 — 1 + (y + 2)^2 — 4 + 4 = 0\) приводит к \((x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 1\). Таким образом, центр первой окружности находится в точке \((1, -2)\), а радиус равен \(r_1 = 1\). Второе уравнение \(x^2 — 8x + y^2 + 12 = 0\) можно переписать как \((x^2 — 8x) + y^2 + 12 = 0\). Завершив квадрат, получаем \((x — 4)^2 — 16 + y^2 + 12 = 0\), что приводит к \((x — 4)^2 + y^2 = 4\). Центр второй окружности — \((4, 0)\), радиус \(r_2 = 2\). Рассчитаем расстояние между центрами: \(d = \sqrt{(4 — 1)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\). Сравним радиусы: \(r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3\) и \(r_2 — r_1 = 2 — 1 = 1\). Поскольку \(d = \sqrt{13} \approx 3.6 > 3\), окружности не пересекаются и не касаются.
Для второй пары окружностей \(x^2 + y^2 — 4x — 4y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 — 10x — 12y + 52 = 0\) также преобразуем уравнения. Первое уравнение можно записать как \((x^2 — 4x) + (y^2 — 4y) + 4 = 0\). Завершим квадрат: \((x — 2)^2 — 4 + (y — 2)^2 — 4 + 4 = 0\) приводит к \((x — 2)^2 + (y — 2)^2 = 4\). Центр первой окружности — \((2, 2)\), радиус \(r_1 = 2\). Второе уравнение \(x^2 + y^2 — 10x — 12y + 52 = 0\) можно переписать как \((x^2 — 10x) + (y^2 — 12y) + 52 = 0\). Завершив квадрат, получаем \((x — 5)^2 — 25 + (y — 6)^2 — 36 + 52 = 0\), что приводит к \((x — 5)^2 + (y — 6)^2 = 9\). Центр второй окружности — \((5, 6)\), радиус \(r_2 = 3\). Рассчитаем расстояние между центрами: \(d = \sqrt{(5 — 2)^2 + (6 — 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\). Сравним радиусы: \(r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5\) и \(r_2 — r_1 = 3 — 2 = 1\). Поскольку \(d = 5 = r_1 + r_2\), окружности касаются внешне.
Для третьей пары окружностей \(x^2 + y^2 — 2x + 4y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 4x — 4y — 28 = 0\) преобразуем уравнения. Первая окружность имеет центр \((1, -2)\) и радиус \(r_1 = 1\) (уже найдено). Второе уравнение \(x^2 + y^2 + 4x — 4y — 28 = 0\) можно переписать как \((x^2 + 4x) + (y^2 — 4y) — 28 = 0\). Завершив квадрат, получаем \((x + 2)^2 — 4 + (y — 2)^2 — 4 — 28 = 0\), что приводит к \((x + 2)^2 + (y — 2)^2 = 36\). Центр второй окружности — \((-2, 2)\), радиус \(r_2 = 6\). Рассчитаем расстояние между центрами: \(d = \sqrt{(-2 — 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\). Сравним радиусы: \(r_1 + r_2 = 1 + 6 = 7\) и \(r_2 — r_1 = 6 — 1 = 5\). Поскольку \(d = 5 < 7\), окружности пересекаются. Для четвёртой пары окружностей \(x^2 + y^2 = 81\) и \(x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0\) у первой окружности центр \((0, 0)\), радиус \(r_1 = 9\). Второе уравнение можно записать как \((x^2 + 2x) + (y^2 - 2y) - 2 = 0\). Завершив квадрат, получаем \((x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 - 2 = 0\), что приводит к \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4\). Центр второй окружности — \((-1, 1)\), радиус \(r_2 = 2\). Рассчитаем расстояние между центрами: \(d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Сравним радиусы: \(r_1 + r_2 = 9 + 2 = 11\) и \(r_2 - r_1 = 2 - 9 = -7\). Поскольку \(d = \sqrt{2} < 11\), окружности пересекаются. Для пятой пары окружностей \(x^2 + y^2 + 6x - 4y + 3 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 6x - 4y - 7 = 0\) у первой окружности центр \((-3, 2)\), радиус \(r_1 = \sqrt{10}\). Второе уравнение можно записать как \((x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) - 7 = 0\). Завершив квадрат, получаем \((x + 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 - 7 = 0\), что приводит к \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 0\). Центр второй окружности — \((-3, 2)\), радиус \(r_2 = 0\). Рассчитаем расстояние между центрами: \(d = 0\). Сравним радиусы: \(r_1 + r_2 = \sqrt{10} + 0 = \sqrt{10}\) и \(r_2 - r_1 = 0 - \sqrt{10} = -\sqrt{10}\). Поскольку \(d = 0 < \sqrt{10}\), окружности касаются внутренне.
