ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дана окружность \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 100\). Найдите уравнение окружности с центром O1(3; -1), которая касается данной окружности.

Для окружности \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 100\) с центром \(O(-1, 2)\) и радиусом \(R = 10\) необходимо найти уравнение окружности с центром \(O_1(3, -1)\), которая касается данной окружности. Расстояние между центрами \(O\) и \(O_1\) равно \(5\). Чтобы окружность касалась заданной внешним образом, радиус искомой окружности должен быть равен \(R_1 = 5 + 10 = 15\). Таким образом, уравнение искомой окружности будет \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 = 225\).

Для окружности \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 100\) центр находится в точке \(O(-1, 2)\), а радиус равен \(R = \sqrt{100} = 10\). Необходимо найти уравнение окружности с центром \(O_1(3, -1)\), которая касается данной окружности. Сначала вычислим расстояние между центрами \(O\) и \(O_1\):

\(d = \sqrt{(3 — (-1))^2 + (-1 — 2)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-1 — 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} =\)
\(= \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).

Для касания окружностей необходимо, чтобы расстояние между их центрами было равно сумме радиусов. Обозначим радиус искомой окружности как \(R_1\). Условие касания внешнее:

\(d = R_1 + R\).

Подставляем известные значения:

\(5 = R_1 + 10\).

Из этого уравнения видно, что \(R_1 = 5 — 10 = -5\), что невозможно, так как радиус не может быть отрицательным. Это значит, что окружность с центром \(O_1(3, -1)\) может касаться заданной окружности только внешним образом, поэтому правильное уравнение будет:

\(d = R_1 + R\).

Теперь подставляем значения:

\(5 = R_1 + 10\).

Решаем уравнение для \(R_1\):

\(R_1 = 5 + 10 = 15\).

Теперь записываем уравнение искомой окружности с центром \(O_1(3, -1)\) и радиусом \(R_1 = 15\):

\((x — 3)^2 + (y + 1)^2 = 15^2\).

Вычисляем \(15^2\):

\(15^2 = 225\).

Таким образом, уравнение искомой окружности:

\((x — 3)^2 + (y + 1)^2 = 225\).