ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите уравнение геометрического места центров окружностей радиуса 1, которые касаются окружности \(x^2 + y^2 = 9\).

Уравнение геометрического места центров окружностей радиуса 1, которые касаются окружности \(x^2 + y^2 = 9\), можно получить, установив, что расстояние между центрами этих окружностей равно сумме их радиусов. Радиус окружности \(x^2 + y^2 = 9\) равен 3, следовательно, для окружности радиуса 1 расстояние будет равно \(3 + 1 = 4\). Таким образом, уравнение будет \( \sqrt{a^2 + b^2} = 4\), что приводит к \(a^2 + b^2 = 16\). Это уравнение описывает окружность радиуса 4 с центром в начале координат.

Чтобы найти уравнение геометрического места центров окружностей радиуса 1, которые касаются окружности \(x^2 + y^2 = 9\), начнем с определения необходимых условий. Центр окружности, которую мы ищем, обозначим как \(C(a, b)\). Радиус данной окружности равен 1. Окружность, заданная уравнением \(x^2 + y^2 = 9\), имеет центр в начале координат \((0, 0)\) и радиус 3.

Для того чтобы окружности касались друг друга, расстояние между их центрами должно быть равно сумме их радиусов. В данном случае это будет равно \(3 + 1 = 4\). Расстояние между центрами окружности с центром в начале координат и окружностью с центром \(C(a, b)\) можно выразить через формулу расстояния:

\(\sqrt{(a — 0)^2 + (b — 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Таким образом, условие касания можно записать как:

\(\sqrt{a^2 + b^2} = 4\).

Теперь, чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\(a^2 + b^2 = 4^2\).

Это приводит нас к уравнению:

\(a^2 + b^2 = 16\).

Это уравнение описывает окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Таким образом, геометрическое место центров окружностей радиуса 1, которые касаются окружности \(x^2 + y^2 = 9\), представлено уравнением \(a^2 + b^2 = 16\).