ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки А (1; 0) и О (0; 0) и касается окружности \(x^2 + y^2 = 9\).

Для нахождения уравнения окружности, проходящей через точки \( A(1, 0) \) и \( O(0, 0) \), и касающейся окружности \( x^2 + y^2 = 9 \), определим центр окружности как \( C\left(\frac{1}{2}, k\right) \) и радиус \( r \). Условие касания дает \( \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + k^2} = r + 3 \), а проходя через точки \( O \) и \( A \) мы получаем \( r^2 = \frac{1}{4} + k^2 \). Решив систему, находим \( k = \sqrt{2} \) или \( k = -\sqrt{2} \) и радиус \( r = \frac{3}{2} \). Таким образом, уравнения окружности будут:

\[
\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y — \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \quad \text{или} \quad \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.
\]

Для нахождения уравнения окружности, которая проходит через точки \( A(1, 0) \) и \( O(0, 0) \) и касается окружности \( x^2 + y^2 = 9 \), начнем с определения центра искомой окружности как \( C(h, k) \) и радиуса \( r \). Окружность, которую мы ищем, должна удовлетворять условиям: она проходит через \( O \) и \( A \), а также касается окружности с радиусом 3.

Сначала запишем условие для касания. Расстояние от центра \( C(h, k) \) до центра окружности \( O(0, 0) \) должно быть равно \( r + 3 \). Это можно выразить следующим образом:

\( \sqrt{h^2 + k^2} = r + 3 \).

Теперь запишем условия, что окружность проходит через точки \( O \) и \( A \). Для точки \( O(0, 0) \) имеем:

\( h^2 + k^2 = r^2 \).

Для точки \( A(1, 0) \) получаем:

\( (1 — h)^2 + k^2 = r^2 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( h^2 + k^2 = r^2 \) (1)
2. \( (1 — h)^2 + k^2 = r^2 \) (2)
3. \( \sqrt{h^2 + k^2} = r + 3 \) (3)

Из уравнения (1) подставим \( r^2 \) в уравнение (2):

\( (1 — h)^2 + k^2 = h^2 + k^2 \).

Упрощая, получаем:

\( (1 — h)^2 = h^2 \).

Раскроем скобки:

\( 1 — 2h + h^2 = h^2 \).

Сократив \( h^2 \) с обеих сторон, получаем:

\( 1 — 2h = 0 \), следовательно, \( h = \frac{1}{2} \).

Теперь подставим найденное значение \( h \) в уравнение (1):

\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + k^2 = r^2 \).

Это дает:

\( \frac{1}{4} + k^2 = r^2 \).

Теперь подставим \( h = \frac{1}{2} \) в уравнение (3):

\( \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + k^2} = r + 3 \).

Упрощаем:

\( \sqrt{\frac{1}{4} + k^2} = r + 3 \).

Теперь выразим \( r \) через \( k \):

Подставим \( r^2 = \frac{1}{4} + k^2 \) в уравнение касания:

\( \sqrt{\frac{1}{4} + k^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + k^2} + 3 \).

Теперь решим для \( k \). У нас есть два возможных значения для \( k \):

1. \( k = \sqrt{2} \)
2. \( k = -\sqrt{2} \)

Теперь найдем радиус. Подставим \( k \) обратно в уравнение для \( r^2 \):

\( r^2 = \frac{1}{4} + (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \).

Таким образом, радиус \( r \) равен \( \frac{3}{2} \).

Теперь можем записать уравнения окружности. Для \( k = \sqrt{2} \):

\( \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y — \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \).

Для \( k = -\sqrt{2} \):

\( \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \).

Итак, искомые уравнения окружности:

\( \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y — \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \) или \( \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \).