ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На окружности \(x^2 + y^2 = 12\) отметили точку А (0; 2/3). Найдите координаты вершин равностороннего треугольника АВС, вписанного в эту окружность.

Чтобы найти координаты вершин равностороннего треугольника \(A\), \(B\) и \(C\), вписанного в окружность \(x^2 + y^2 = 12\) с вершиной \(A(0; \frac{2}{3})\), определяем радиус окружности \(R = 2\sqrt{3}\). Угол точки \(A\) равен \(\frac{\pi}{2}\). Углы для точек \(B\) и \(C\) составляют \(\frac{7\pi}{6}\) и \(-\frac{\pi}{6}\) соответственно. Вычисляя координаты, получаем \(B(-3; -\sqrt{3})\) и \(C(3; -\sqrt{3})\). Таким образом, координаты вершин треугольника: \( (0; 2\sqrt{3}) \), \( (3; -\sqrt{3}) \), \( (-3; -\sqrt{3}) \).

Для нахождения координат вершин равностороннего треугольника \(A\), \(B\) и \(C\), вписанного в окружность \(x^2 + y^2 = 12\) и имеющего вершину \(A(0; \frac{2}{3})\), начнем с определения радиуса окружности. Уравнение окружности можно записать в виде \(x^2 + y^2 = R^2\), где \(R\) — радиус. В нашем случае \(R^2 = 12\), следовательно, \(R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Теперь определим угол, который образует точка \(A\) с положительным направлением оси \(x\). Поскольку координаты точки \(A\) равны \(A(0; \frac{2}{3})\), угол \(\theta_A\) можно найти, заметив, что точка находится на оси \(y\) и, следовательно, угол равен \(\frac{\pi}{2}\) радиан (или 90 градусов).

В равностороннем треугольнике углы равны \(60^\circ\) или \(\frac{\pi}{3}\) радиан. Для нахождения углов, соответствующих вершинам \(B\) и \(C\), добавим и вычтем \(\frac{2\pi}{3}\) от угла \(\theta_A\). Таким образом, углы будут равны:
\(\theta_B = \theta_A + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) и
\(\theta_C = \theta_A — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} — \frac{4\pi}{6} = -\frac{1\pi}{6}\).

Теперь найдем координаты точек \(B\) и \(C\) с использованием радиуса \(R = 2\sqrt{3}\). Координаты точки \(B\) вычисляются по формулам:
\(B = (R \cos(\theta_B), R \sin(\theta_B))\). Подставляя значения, получаем:
\(B = (2\sqrt{3} \cos(\frac{7\pi}{6}), 2\sqrt{3} \sin(\frac{7\pi}{6}))\).
Значения косинуса и синуса для угла \(\frac{7\pi}{6}\) равны:
\(\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\). Следовательно, подставляя эти значения, получаем:
\(B = (2\sqrt{3} \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} \cdot -\frac{1}{2}) = (-3, -\sqrt{3})\).

Теперь аналогично найдем координаты точки \(C\):
\(C = (R \cos(\theta_C), R \sin(\theta_C))\). Подставляя значения, получаем:
\(C = (2\sqrt{3} \cos(-\frac{\pi}{6}), 2\sqrt{3} \sin(-\frac{\pi}{6}))\).
Значения косинуса и синуса для угла \(-\frac{\pi}{6}\) равны:
\(\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\). Таким образом, подставляя эти значения, получаем:
\(C = (2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} \cdot -\frac{1}{2}) = (3, -\sqrt{3})\).

В итоге, координаты вершин равностороннего треугольника \(A\), \(B\) и \(C\) составляют: \( (0; 2\sqrt{3}) \), \( (3; -\sqrt{3}) \), \( (-3; -\sqrt{3}) \).