ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите геометрическое место точек Х таких, что \(ХА^2 + XB^2 = a\), где А (1; -1), В (3; -5), а — некоторое число.

Геометрическое место точек \(X\), удовлетворяющее условию \(XA^2 + XB^2 = a\) (где \(A(1, -1)\) и \(B(3, -5)\)), описывается следующим образом: если \(a < 10\), то это пустое множество; если \(a = 10\), то это точка \(M(2, -3)\); если \(a > 10\), то это окружность с центром в точке \(M(2, -3)\) и радиусом \(\sqrt{\frac{a}{2} — 5}\), что можно записать как \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = \frac{a}{2} — 5\).

Геометрическое место точек \(X\), удовлетворяющее условию \(XA^2 + XB^2 = a\), где \(A(1, -1)\) и \(B(3, -5)\), можно проанализировать следующим образом. Сначала запишем расстояния от точки \(X(x, y)\) до точек \(A\) и \(B\):

\(XA^2 = (x — 1)^2 + (y + 1)^2\) и \(XB^2 = (x — 3)^2 + (y + 5)^2\). Подставляя эти выражения в уравнение, получаем:

\((x — 1)^2 + (y + 1)^2 + (x — 3)^2 + (y + 5)^2 = a\).

Раскроем скобки:

\((x^2 — 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) + (x^2 — 6x + 9 + y^2 + 10y + 25) = a\).

Соберем все подобные члены:

\(2x^2 + 2y^2 — 8x + 12y + 36 = a\).

Упростим уравнение, разделив его на 2:

\(x^2 + y^2 — 4x + 6y + (18 — \frac{a}{2}) = 0\).

Теперь мы можем привести это уравнение к канонической форме окружности. Для этого выделим полный квадрат для \(x\) и \(y\). Для \(x\) имеем:

\(x^2 — 4x = (x — 2)^2 — 4\), а для \(y\):

\(y^2 + 6y = (y + 3)^2 — 9\).

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

\((x — 2)^2 — 4 + (y + 3)^2 — 9 + (18 — \frac{a}{2}) = 0\).

Упрощая, получаем:

\((x — 2)^2 + (y + 3)^2 + 5 — \frac{a}{2} = 0\).

Переписываем это в виде:

\((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = \frac{a}{2} — 5\).

Теперь рассмотрим различные случаи для значения \(a\):

1. Если \(a < 10\), то \(\frac{a}{2} — 5 < 0\), что означает, что уравнение не имеет решений, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Таким образом, геометрическое место точек в этом случае будет пустым множеством.

2. Если \(a = 10\), тогда \(\frac{a}{2} — 5 = 0\), и уравнение становится \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 0\). Это уравнение имеет единственное решение, точку \(M(2, -3)\).

3. Если \(a > 10\), то \(\frac{a}{2} — 5 > 0\), и уравнение описывает окружность с центром в точке \(M(2, -3)\) и радиусом \(\sqrt{\frac{a}{2} — 5}\). Таким образом, геометрическое место точек в этом случае будет окружностью, заданной уравнением \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = \frac{a}{2} — 5\).

В итоге, ответ на задачу: если \(a < 10\), то пустое множество; если \(a = 10\), то точка \(M(2, -3)\); если \(a > 10\), то окружность \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = \frac{a}{2} — 5\).