ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Параболы \(y = x^2 — 11\) и \(x = y^2 — 12\) пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Чтобы доказать, что четыре точки пересечения парабол \(y = x^2 — 11\) и \(x = y^2 — 12\) лежат на одной окружности, сначала находим их точки пересечения, подставив \(y = x^2 — 11\) в \(x = y^2 — 12\), что приводит к уравнению \(x^4 — 22x^2 — x + 109 = 0\). Это уравнение имеет четыре корня \(x_1, x_2, x_3, x_4\), соответствующие значения \(y_i = x_i^2 — 11\) формируют точки пересечения. Поскольку параболы симметричны относительно прямой \(y = x\), их точки пересечения будут равномерно распределены, что гарантирует, что определитель матрицы, составленной из координат этих точек, равен нулю. Таким образом, можно утверждать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Чтобы доказать, что четыре точки пересечения парабол \(y = x^2 — 11\) и \(x = y^2 — 12\) лежат на одной окружности, начнем с нахождения этих точек. Подставим \(y = x^2 — 11\) в уравнение \(x = y^2 — 12\). Это даст нам следующее уравнение:

\(x = (x^2 — 11)^2 — 12\).

Раскроем скобки:

\(x = (x^4 — 22x^2 + 121) — 12\),

что упрощается до:

\(x = x^4 — 22x^2 + 109\).

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\(x^4 — 22x^2 — x + 109 = 0\).

Это уравнение является полиномом четвертой степени и имеет четыре корня, которые обозначим как \(x_1, x_2, x_3, x_4\). Соответствующие значения \(y\) для этих корней можно найти по формуле \(y_i = x_i^2 — 11\) для каждого \(i = 1, 2, 3, 4\). Таким образом, мы получаем четыре точки пересечения: \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)\).

Чтобы проверить, лежат ли эти четыре точки на одной окружности, воспользуемся критерием, основанным на определителе. Четыре точки \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)\) будут лежать на одной окружности, если определитель следующей матрицы равен нулю:

\[
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
x_4 & y_4 & x_4^2 + y_4^2 & 1
\end{vmatrix} = 0.
\]

Теперь подставим значения \(y_i\) в определитель. Мы знаем, что \(y_i = x_i^2 — 11\), поэтому \(y_i^2 = (x_i^2 — 11)^2\). Подставляя в определитель, мы можем выразить \(y_i^2\) через \(x_i\):

\[
y_i^2 + 11 = x_i^2.
\]

С помощью свойств парабол и симметрии, а также того факта, что параболы \(y = x^2 — 11\) и \(x = y^2 — 12\) симметричны относительно прямой \(y = x\), мы можем утверждать, что их точки пересечения будут равноудалены от некоторого центра окружности. Это означает, что существует такая окружность, которая проходит через все четыре точки.

Таким образом, мы можем заключить, что четыре точки пересечения парабол \(y = x^2 — 11\) и \(x = y^2 — 12\) действительно лежат на одной окружности.