ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности с центром в точке \(M (-3; 1)\), проходящей через точку \(K (-1; 5)\).

Уравнение окружности с центром в точке \(M (-3; 1)\) и проходящей через точку \(K (-1; 5)\) можно составить, сначала найдя радиус. Расстояние между точками \(M\) и \(K\) вычисляется как \(r = \sqrt{((-1) — (-3))^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Уравнение окружности с центром в \(M\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x + 3)^2 + (y — 1)^2 = (2\sqrt{5})^2\), что упрощается до \((x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 20\).

Уравнение окружности с центром в точке \(M (-3; 1)\) и проходящей через точку \(K (-1; 5)\) можно найти следующим образом. Сначала определим радиус окружности, который равен расстоянию между центром и точкой на окружности. Для этого воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

\( r = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).

Подставим координаты точек \(M\) и \(K\): \(x_1 = -3\), \(y_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(y_2 = 5\). Тогда радиус можно вычислить так:

\( r = \sqrt{((-1) — (-3))^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).

Теперь, зная радиус, можем записать уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в точке \(M (x_0, y_0)\) и радиусом \(r\) имеет вид:

\( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2 \).

Подставим значения \(x_0 = -3\), \(y_0 = 1\) и \(r = 2\sqrt{5}\):

\( (x + 3)^2 + (y — 1)^2 = (2\sqrt{5})^2 \).

Теперь вычислим квадрат радиуса:

\( (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \).

Таким образом, уравнение окружности принимает окончательный вид:

\( (x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 20 \).