ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок \(AB\), если \(A (2; — 7), B (-2; 3)\).

Уравнение окружности, диаметром которой является отрезок \(AB\) с координатами \(A(2, -7)\) и \(B(-2, 3)\), можно найти следующим образом: сначала находим центр окружности \(C\) как середину отрезка \(AB\), получая \(C(0, -2)\). Затем вычисляем длину отрезка \(AB\), которая равна \(2\sqrt{29}\), и радиус окружности \(r = \sqrt{29}\). Уравнение окружности с центром в \(C(0, -2)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x — 0)^2 + (y + 2)^2 = (\sqrt{29})^2\), что упрощается до \(x^2 + (y + 2)^2 = 29\).

Для нахождения уравнения окружности, диаметром которой является отрезок \(AB\) с координатами \(A(2, -7)\) и \(B(-2, 3)\), начнем с нахождения центра окружности. Центр окружности \(C\) находится в середине отрезка \(AB\), что можно вычислить по формуле:

\(C\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\).

Подставляя координаты точек \(A\) и \(B\), получаем:

\(C\left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{-7 + 3}{2} \right) = C(0, -2)\).

Теперь найдем длину отрезка \(AB\) с использованием формулы для расстояния между двумя точками:

\(AB = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).

Подставляем координаты:

\(AB = \sqrt{((-2) — 2)^2 + (3 — (-7))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} =\)
\(= \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\).

Радиус окружности \(r\) равен половине длины отрезка \(AB\):

\(r = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{29}}{2} = \sqrt{29}\).

Теперь, зная координаты центра \(C(0, -2)\) и радиус \(r\), можем записать уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в точке \(C(x_0, y_0)\) и радиусом \(r\) имеет вид:

\((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2\).

Подставляем значения:

\((x — 0)^2 + (y — (-2))^2 = (\sqrt{29})^2\).

Упрощая, получаем:

\(x^2 + (y + 2)^2 = 29\).

Таким образом, уравнение окружности, диаметром которой является отрезок \(AB\), записывается как:

\(x^2 + (y + 2)^2 = 29\).