ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что отрезок \(AB\) является диаметром окружности \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\), если \(A (1; — 5), B (9; — 3)\).

Отрезок \(AB\) является диаметром окружности \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\), так как его концы \(A(1, -5)\) и \(B(9, -3)\) лежат на окружности: подставив координаты \(A\) и \(B\) в уравнение, мы получаем равенство \(17\) в обоих случаях. Середина отрезка \(AB\) находится в точке \(M(5, -4)\), которая совпадает с центром окружности. Таким образом, отрезок \(AB\) проходит через центр окружности и является её диаметром.

Отрезок \(AB\) является диаметром окружности \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\). Чтобы это доказать, необходимо проверить, что точки \(A(1, -5)\) и \(B(9, -3)\) лежат на данной окружности, а также что середина отрезка \(AB\) совпадает с центром окружности.

Сначала определим центр и радиус окружности. Уравнение окружности имеет вид \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус. В данном случае, из уравнения \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\) видно, что центр окружности находится в точке \((5, -4)\), а радиус равен \(r = \sqrt{17}\).

Теперь проверим, лежит ли точка \(A(1, -5)\) на окружности. Подставим координаты точки \(A\) в уравнение окружности:

\((1 — 5)^2 + (-5 + 4)^2 = 17\).

Вычислим:

\((-4)^2 + (-1)^2 = 17\)

или

\(16 + 1 = 17\).

Таким образом, точка \(A\) действительно лежит на окружности.

Теперь проверим точку \(B(9, -3)\). Подставим координаты точки \(B\) в уравнение окружности:

\((9 — 5)^2 + (-3 + 4)^2 = 17\).

Вычислим:

\((4)^2 + (1)^2 = 17\)

или

\(16 + 1 = 17\).

Следовательно, точка \(B\) также лежит на окружности.

Теперь найдем середину отрезка \(AB\). Середина отрезка определяется по формуле:

\(M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\).

Подставим координаты \(A(1, -5)\) и \(B(9, -3)\):

\(M = \left( \frac{1 + 9}{2}, \frac{-5 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{-8}{2} \right) = (5, -4)\).

Таким образом, середина отрезка \(AB\) совпадает с центром окружности \((5, -4)\).

Поскольку обе точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности, а середина отрезка \(AB\) совпадает с центром окружности, можно заключить, что отрезок \(AB\) является диаметром окружности.