ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 9.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что отрезок \(CD\) является хордой окружности \(x^2 + (y — 9)^2 = 169\), если \(C (5; — 3), D (-12; 4)\).
Чтобы доказать, что отрезок \(CD\) является хордой окружности \(x^2 + (y — 9)^2 = 169\), нужно показать, что точки \(C(5, -3)\) и \(D(-12, 4)\) лежат на окружности. Центр окружности находится в точке \((0, 9)\) с радиусом \(r = 13\). Расстояние от центра до точки \(C\) равно \(d_C = \sqrt{(5 — 0)^2 + (-3 — 9)^2} = 13\), а до точки \(D\) — \(d_D = \sqrt{(-12 — 0)^2 + (4 — 9)^2} = 13\). Поскольку оба расстояния равны радиусу, точки \(C\) и \(D\) находятся на окружности, следовательно, отрезок \(CD\) является хордой окружности.
Чтобы доказать, что отрезок \(CD\) является хордой окружности, заданной уравнением \(x^2 + (y — 9)^2 = 169\), необходимо выяснить, лежат ли точки \(C(5, -3)\) и \(D(-12, 4)\) на этой окружности. Уравнение окружности можно представить в виде \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус. В данном случае, центр окружности находится в точке \((0, 9)\), а радиус равен \(r = \sqrt{169} = 13\).
Сначала найдем расстояние от центра окружности до точки \(C(5, -3)\). Расстояние вычисляется по формуле:
\(d_C = \sqrt{(x_C — h)^2 + (y_C — k)^2}\),
где \(x_C = 5\) и \(y_C = -3\). Подставим значения:
\(d_C = \sqrt{(5 — 0)^2 + (-3 — 9)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
Теперь проверим расстояние от центра окружности до точки \(D(-12, 4)\). Используем ту же формулу:
\(d_D = \sqrt{(x_D — h)^2 + (y_D — k)^2}\),
где \(x_D = -12\) и \(y_D = 4\). Подставляем значения:
\(d_D = \sqrt{(-12 — 0)^2 + (4 — 9)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} =\)
\( = \sqrt{169} = 13\).
Поскольку расстояния \(d_C\) и \(d_D\) равны радиусу окружности, это означает, что обе точки \(C\) и \(D\) лежат на окружности. Таким образом, отрезок \(CD\) соединяет две точки, находящиеся на окружности, и, следовательно, является хордой этой окружности.
