ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.123 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–12; 6), B (0; 11), C (5; –1), D (–7; –6) является квадратом.

Длины сторон:

\( d_{AB} = \sqrt{(0 — (-12))^2 + (11 — 6)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 \)

\( d_{BC} = \sqrt{(5 — 0)^2 + (-1 — 11)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13 \)

\( d_{CD} = \sqrt{(-7 — 5)^2 + (-6 — (-1))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{169} = 13 \)

\( d_{DA} = \sqrt{(-12 — (-7))^2 + (6 — (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 \)

Углы:

\( \vec{AB} = (12, 5), \quad \vec{BC} = (5, -12) \)

\( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \cdot 5 + 5 \cdot (-12) = 0 \)

\( \vec{BC} = (5, -12), \quad \vec{CD} = (-12, -5) \)

\( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 5 \cdot (-12) + (-12) \cdot (-5) = 0 \)

\( \vec{DA} = (-5, 12), \quad \vec{AB} = (12, 5) \)

\( \vec{DA} \cdot \vec{AB} = -5 \cdot 12 + 12 \cdot 5 = 0 \)

Четырёхугольник ABCD является квадратом.

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить равенство всех сторон и прямые углы между ними.

Вершины четырёхугольника:
— \( A (-12, 6) \)
— \( B (0, 11) \)
— \( C (5, -1) \)
— \( D (-7, -6) \)

Сначала вычислим длины сторон.

Длина стороны \( AB \):
\( d_{AB} = \sqrt{(0 — (-12))^2 + (11 — 6)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \)

Длина стороны \( BC \):
\( d_{BC} = \sqrt{(5 — 0)^2 + (-1 — 11)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} =\)
\(= \sqrt{169} = 13 \)

Длина стороны \( CD \):
\( d_{CD} = \sqrt{(-7 — 5)^2 + (-6 — (-1))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} =\)
\(= \sqrt{169} = 13 \)

Длина стороны \( DA \):
\( d_{DA} = \sqrt{(-12 — (-7))^2 + (6 — (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \)
\(=\sqrt{169} = 13 \)

Теперь у нас есть:
\( d_{AB} = d_{BC} = d_{CD} = d_{DA} = 13 \)

Теперь проверим углы между сторонами.

Вектор \( \vec{AB} \):
\( \vec{AB} = (0 — (-12), 11 — 6) = (12, 5) \)

Вектор \( \vec{BC} \):
\( \vec{BC} = (5 — 0, -1 — 11) = (5, -12) \)

Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \):
\( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \cdot 5 + 5 \cdot (-12) = 60 — 60 = 0 \)

Это означает, что угол \( \angle ABC = 90^\circ \).

Теперь проверим угол \( \angle BCD \).

Вектор \( \vec{CD} \):
\( \vec{CD} = (-7 — 5, -6 — (-1)) = (-12, -5) \)

Скалярное произведение \( \vec{BC} \cdot \vec{CD} \):
\( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 5 \cdot (-12) + (-12) \cdot (-5) = -60 + 60 = 0 \)

Это означает, что угол \( \angle BCD = 90^\circ \).

Теперь проверим угол \( \angle CDA \).

Вектор \( \vec{DA} \):
\( \vec{DA} = (-12 — (-7), 6 — (-6)) = (-5, 12) \)

Скалярное произведение \( \vec{DA} \cdot \vec{AB} \):
\( \vec{DA} \cdot \vec{AB} = -5 \cdot 12 + 12 \cdot 5 = -60 + 60 = 0 \)

Это означает, что угол \( \angle CDA = 90^\circ \).

Таким образом, все стороны равны и все углы равны \( 90^\circ \). Четырёхугольник ABCD является квадратом.