ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, А (-5; 1), В (-4; 4), С (-1; 5). Найдите координаты вершины D.
Чтобы найти координаты вершины \(D\) параллелограмма \(ABCD\), где \(A (-5; 1)\), \(B (-4; 4)\) и \(C (-1; 5)\), используем свойство, что диагонали пересекаются в одной точке. Находим середину диагонали \(AC\): \(M_{AC} = (-3; 3)\). Середина диагонали \(BD\) равна \(\left( \frac{-4 + x}{2}, \frac{4 + y}{2} \right)\). Приравнивая координаты середины, решаем уравнения: \(\frac{-4 + x}{2} = -3\) и \(\frac{4 + y}{2} = 3\). Это дает \(x = -2\) и \(y = 2\). Таким образом, координаты вершины \(D\) равны \((-2; 2)\).
Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD с заданными точками A(-5;1), B(-4;4) и C(-1;5), мы будем использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагонали пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам. Давайте разберем этот процесс пошагово с подробными объяснениями и деталями, чтобы полностью понять каждый этап решения.
1. Определим, что нам нужно найти. В параллелограмме ABCD нам известны координаты трех вершин: A(-5;1), B(-4;4) и C(-1;5). Наша цель — найти координаты четвертой вершины D(xD;yD). Для этого мы воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит, что середины диагоналей AC и BD совпадают. Это означает, что точка пересечения диагоналей является серединой как для отрезка AC, так и для отрезка BD.
2. Напомним формулу для нахождения координат середины отрезка. Если у нас есть две точки с координатами (x1;y1) и (x2;y2), то координаты середины отрезка, соединяющего эти точки, вычисляются как среднее арифметическое их координат по осям x и y. Формула выглядит следующим образом: середина = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2). Мы применим эту формулу сначала к диагонали AC, чтобы найти ее середину.
3. Вычислим координаты середины диагонали AC. У нас есть точка A с координатами (-5;1) и точка C с координатами (-1;5). Подставим эти значения в формулу середины отрезка. По оси x: (-5 + (-1))/2 = (-5 — 1)/2 = -6/2 = -3. По оси y: (1 + 5)/2 = 6/2 = 3. Таким образом, координаты середины диагонали AC равны (-3;3). Обозначим эту точку как MAC, то есть MAC = (-3;3).
4. Теперь рассмотрим диагональ BD. У нас известна точка B с координатами (-4;4), а точка D имеет неизвестные координаты (xD;yD). Середина диагонали BD, обозначенная как MBD, вычисляется по той же формуле: MBD = ((-4 + xD)/2; (4 + yD)/2). Поскольку в параллелограмме середины диагоналей совпадают, мы можем приравнять координаты MAC и MBD. Это означает, что (-4 + xD)/2 = -3 и (4 + yD)/2 = 3.
5. Составим систему уравнений на основе равенства координат середин. У нас получается два уравнения: первое для оси x — (-4 + xD)/2 = -3, и второе для оси y — (4 + yD)/2 = 3. Мы будем решать эти уравнения по отдельности, чтобы найти значения xD и yD. Начнем с уравнения по оси x.
6. Решим уравнение (-4 + xD)/2 = -3. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны уравнения на 2. Получаем: -4 + xD = -3 * 2, что равно -4 + xD = -6. Теперь перенесем -4 в правую часть уравнения, прибавив 4 к обеим сторонам: xD = -6 + 4. Выполним вычисление: xD = -2. Таким образом, координата x точки D равна -2.
7. Перейдем к уравнению по оси y: (4 + yD)/2 = 3. Аналогично умножим обе стороны на 2, чтобы убрать знаменатель: 4 + yD = 3 * 2, что равно 4 + yD = 6. Теперь вычтем 4 из обеих сторон, чтобы выразить yD: yD = 6 — 4. Выполним вычисление: yD = 2. Таким образом, координата y точки D равна 2.
8. Проверим, что мы получили правильные значения. Координаты точки D равны (-2;2). Убедимся, что середины диагоналей действительно совпадают. Середина BD: x-координата = (-4 + (-2))/2 = (-4 — 2)/2 = -6/2 = -3; y-координата = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3. Получаем середину BD равную (-3;3), что совпадает с серединой AC. Это подтверждает правильность наших вычислений.
9. Рассмотрим альтернативный способ проверки через свойство векторов. В параллелограмме вектор AB должен быть равен вектору DC, а вектор AD — вектору BC. Найдем вектор AB: от точки A(-5;1) к точке B(-4;4), то есть AB = (-4 — (-5); 4 — 1) = (1;3). Если D имеет координаты (-2;2), то вектор DC от D(-2;2) к C(-1;5) равен (-1 — (-2); 5 — 2) = (1;3), что совпадает с AB. Это еще одно подтверждение правильности координат D.
10. Итоговый результат: координаты точки D равны (-2;2). Мы подробно разобрали каждый шаг, начиная от определения середины диагонали AC, составления системы уравнений для середины BD, решения этих уравнений и проверки результата с использованием как середин диагоналей, так и свойства векторов. Этот подход гарантирует, что решение является точным и полным.
