ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Опишите, в чём состоит суть метода координат.

Метод координат позволяет представлять геометрические объекты с помощью числовых координат, что упрощает анализ и решение задач. Он включает выбор системы координат, представление фигур в виде координат, выполнение вычислений (например, расстояние между точками \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\)), применение преобразований и использование в различных областях, таких как физика и компьютерная графика.

Метод координат представляет собой мощный инструмент, позволяющий анализировать и решать геометрические задачи с помощью числовых значений. Основная идея заключается в том, что геометрические объекты, такие как точки, линии и фигуры, могут быть представлены в виде числовых координат в выбранной системе координат.

Первым шагом в применении метода является выбор системы координат. Наиболее распространенной является декартова система, где двумерное пространство определяется двумя перпендикулярными осями: горизонтальной осью \(x\) и вертикальной осью \(y\). Каждая точка в этом пространстве описывается парой координат \((x, y)\). В трехмерном пространстве добавляется третья ось \(z\), и точка представляется как \((x, y, z)\).

После определения системы координат можно перейти к представлению объектов. Например, точка \(A\) в двумерном пространстве может быть задана как \(A(x_1, y_1)\), где \(x_1\) и \(y_1\) — это координаты точки. Линия может быть задана уравнением, например, \(y = mx + b\), где \(m\) — угловой коэффициент, а \(b\) — свободный член. Это позволяет легко визуализировать и анализировать свойства линии.

Метод координат также позволяет выполнять вычисления, которые могут быть сложными в чисто геометрическом подходе. Например, расстояние между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) вычисляется по формуле \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Эта формула основана на теореме Пифагора и позволяет быстро находить расстояния в пространстве.

Кроме того, метод координат дает возможность работать с векторами, которые представляют собой направленные отрезки, заданные координатами. Вектор \( \vec{AB} \), соединяющий точки \(A\) и \(B\), можно записать как \(\vec{AB} = (x_2 — x_1, y_2 — y_1)\). Операции над векторами, такие как сложение и вычитание, также становятся более простыми благодаря координатному представлению.

Преобразования, такие как сдвиги, повороты и масштабирование, легко реализуются в методе координат. Например, сдвиг точки \(A(x, y)\) на \(a\) по оси \(x\) и на \(b\) по оси \(y\) приводит к новой точке \(A'(x + a, y + b)\). Поворот точки вокруг начала координат на угол \(\theta\) можно выразить через новые координаты: \(A'(x’, y’)\), где \(x’ = x \cos(\theta) — y \sin(\theta)\) и \(y’ = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)\).

Метод координат применяется в различных областях, таких как физика, где он используется для описания движения объектов, в инженерии для проектирования и анализа конструкций, а также в компьютерной графике для моделирования и рендеринга трехмерных сцен. Благодаря универсальности и простоте использования, метод координат стал основным инструментом в современных научных исследованиях и практических приложениях.