ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Что называют произведением ненулевого вектора \(а\) и числа \(k \neq 0\)?
2. Что можно сказать о ненулевых векторах \(а\) и \(b\), если \(b = ka\), где \(k\) — некоторое число?
3. Известно, что векторы \(а\) и \(b\) коллинеарны, причём \(а \neq 0\). Как можно выразить вектор \(b\) через вектор \(а\)?
4. Вектор \(а\) имеет координаты \((а_1; а_2)\). Чему равны координаты век- тора \(ка\)?
5. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны \((а_1; а_2)\) и \((ka; ka_2)\)?
6. Запишите сочетательное и распределительные свойства умноже- ния вектора на число.

1. Произведением ненулевого вектора \(a\) и числа \(k \neq 0\) называется вектор \(ka\). Этот вектор имеет ту же направленность, что и \(a\), если \(k > 0\), и противоположную, если \(k < 0\). Длина вектора \(ka\) равна \(|k| \cdot |a|\).

2. Если \(b = ka\), где \(k\) — некоторое число, то векторы \(a\) и \(b\) коллинеарны, что означает, что они лежат на одной прямой, и один из них является скалярным произведением другого.

3. Вектор \(b\) можно выразить через вектор \(a\) как \(b = ka\), где \(k\) — скаляр. Это означает, что \(b\) является линейной комбинацией вектора \(a\).

4. Координаты вектора \(ka\) равны \((ka_1; ka_2)\). Это происходит из того, что вектор \(a\) с координатами \((a_1; a_2)\) умножается на скаляр \(k\).

5. Векторы, координаты которых равны \((a_1; a_2)\) и \((ka_1; ka_2)\), коллинеарны, если \(k \neq 0\). Это означает, что один из векторов можно получить из другого путем умножения на скаляр.

6. Сочетательное свойство: \(k(m a) = (km)a\). Распределительное свойство: \(k(a + b) = ka + kb\).

1. Произведением ненулевого вектора \(a\) и числа \(k \neq 0\) называется вектор \(ka\). Это операция масштабирования вектора, где \(k\) является скаляром, который изменяет длину вектора \(a\). Если \(k\) положительно, то новый вектор \(ka\) будет направлен в ту же сторону, что и \(a\), сохраняя его направление. Если \(k\) отрицательно, вектор \(ka\) будет направлен в противоположную сторону. Длина нового вектора \(ka\) определяется формулой \(|ka| = |k| \cdot |a|\). Это означает, что длина вектора \(ka\) равна произведению абсолютного значения скаляра \(k\) и длины вектора \(a\). Таким образом, операция умножения вектора на скаляр позволяет изменять как направление, так и длину вектора.

2. Если \(b = ka\), где \(k\) — некоторое число, то векторы \(a\) и \(b\) являются коллинеарными. Это означает, что они лежат на одной прямой, и один из них может быть выражен как скалярное произведение другого. Вектор \(b\) является результатом масштабирования вектора \(a\) на коэффициент \(k\). Если \(k > 0\), то вектора направлены в одну сторону, а если \(k < 0\), то вектора направлены в противоположные стороны. Коллинеарность векторов также подразумевает, что их направление может быть описано одним и тем же углом относительно оси координат, что делает их параллельными. Вектор \(b\) может быть представлен в виде линейной комбинации вектора \(a\), что подчеркивает их взаимосвязь.

3. Вектор \(b\) можно выразить через вектор \(a\) как \(b = ka\), где \(k\) — скаляр. Это указывает на то, что вектор \(b\) является линейной комбинацией вектора \(a\) с коэффициентом \(k\). В случае, если \(k = 1\), вектор \(b\) совпадает с вектором \(a\). Если \(k\) больше единицы, вектор \(b\) будет длиннее вектора \(a\), а если \(0 < k < 1\), вектор \(b\) будет короче вектора \(a\). Если \(k < 0\), вектор \(b\) будет направлен в противоположную сторону. Это свойство позволяет использовать векторы для представления различных направлений и величин в одном и том же пространстве, что делает их очень полезными в геометрии и физике. 4. Координаты вектора \(ka\) равны \((ka_1; ka_2)\). Это происходит из того, что вектор \(a\) с координатами \((a_1; a_2)\) умножается на скаляр \(k\). При этом каждая координата вектора \(a\) умножается на \(k\), что приводит к новому вектору с измененными координатами. Например, если вектор \(a\) имеет координаты \((2; 3)\) и \(k = 2\), то координаты вектора \(ka\) будут \((2 \cdot 2; 2 \cdot 3) = (4; 6)\). Это показывает, как масштабирование вектора влияет на его координаты, изменяя их пропорционально значению скаляра \(k\). 5. Векторы, координаты которых равны \((a_1; a_2)\) и \((ka_1; ka_2)\), коллинеарны, если \(k \neq 0\). Это означает, что один из векторов можно получить из другого путем умножения на скаляр \(k\). Если \(k > 0\), оба вектора направлены в одну сторону, а если \(k < 0\), они направлены в противоположные стороны. Коллинеарность векторов также подразумевает, что они могут быть представлены в виде одной и той же прямой линии в пространстве. Это свойство является основным в векторной алгебре и используется для определения взаимного расположения векторов в пространстве.

6. Сочетательное свойство умножения вектора на число формулируется следующим образом: \(k(m a) = (km)a\). Это означает, что если мы сначала умножаем вектор \(a\) на скаляр \(m\), а затем результат на другой скаляр \(k\), то это будет эквивалентно умножению вектора \(a\) на произведение скаляров \(km\). Распределительное свойство выражается так: \(k(a + b) = ka + kb\). Это свойство указывает на то, что умножение скаляра \(k\) на сумму двух векторов \(a\) и \(b\) равно сумме векторов, полученных путем умножения каждого из векторов на скаляр \(k\). Эти свойства являются основными в векторной алгебре и помогают в манипуляциях с векторами и их комбинациями.