ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. В каких пределах находится угол между любыми векторами \(a\) и \(b\)?
2. Какие векторы называют перпендикулярными?
3. Что называют скалярным произведением двух векторов?
4. Что называют скалярным квадратом вектора?
5. Чему равен скалярный квадрат вектора?
6. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых век-торов.
7. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты?
8. Как найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны их координаты?
9. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

1. Угол между любыми векторами \(a\) и \(b\) находится в пределах от \(0\) до \(\pi\) радиан.
2. Векторы называют перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.
3. Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
4. Скалярным квадратом вектора называют его скалярное произведение с самим собой.
5. Скалярный квадрат вектора \(a\) равен \(||a||^2\).
6. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: \(a \cdot b = 0\).
7. Скалярное произведение векторов, если известны их координаты, вычисляется как \(a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\).
8. Косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны их координаты, находится по формуле \(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{||a|| \cdot ||b||}\).
9. Свойства скалярного произведения векторов:
— Коммутативность: \(a \cdot b = b \cdot a\)
— Дистрибутивность: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
— Ассоциативность относительно скалярного умножения: \((\alpha a) \cdot b = \alpha (a \cdot b)\) для любого скаляра \(\alpha\).

1. Угол между любыми векторами \(a\) и \(b\) может варьироваться от \(0\) до \(\pi\) радиан. Это связано с тем, что векторы могут быть направлены в одном направлении, что соответствует углу \(0\) радиан, или в противоположные стороны, что соответствует углу \(\pi\) радиан. Векторы, направленные в одном направлении, имеют положительное значение скалярного произведения, в то время как векторы, направленные в противоположные стороны, имеют отрицательное значение. Угол в \(90\) градусов (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан) соответствует перпендикулярным вектором, где скалярное произведение равно нулю.

2. Векторы называют перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Это свойство можно выразить через формулу \(a \cdot b = ||a|| \cdot ||b|| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) — угол между векторами. Если \(\theta = \frac{\pi}{2}\), то \(\cos(\theta) = 0\), и, следовательно, \(a \cdot b = 0\). Перпендикулярные векторы имеют важное значение в геометрии и физике, так как они представляют собой независимые направления, что позволяет использовать их для построения базиса векторного пространства.

3. Скалярным произведением двух векторов называют число, которое можно интерпретировать как меру того, насколько два вектора направлены в одном направлении. Формально это выражается как \(a \cdot b = ||a|| \cdot ||b|| \cdot \cos(\theta)\), где \(||a||\) и \(||b||\) — длины векторов \(a\) и \(b\), а \(\theta\) — угол между ними. Скалярное произведение также может быть выражено через компоненты векторов: если \(a = (a_1, a_2, a_3)\) и \(b = (b_1, b_2, b_3)\), то \(a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\). Это позволяет вычислять скалярное произведение, не зная угла между векторами, просто используя их координаты.

4. Скалярным квадратом вектора называют его скалярное произведение с самим собой. Это можно выразить как \(||a||^2 = a \cdot a\). Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора, что можно записать как \(a \cdot a = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\). Это свойство используется для определения длины вектора и в различных приложениях, таких как вычисление расстояний и нормализация векторов.

5. Скалярный квадрат вектора \(a\) равен \(||a||^2\), что можно вычислить по формуле \(||a||^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\) для трехмерного вектора. Это значение всегда неотрицательно, так как квадраты действительных чисел не могут быть отрицательными. Скалярный квадрат вектора является важным понятием в линейной алгебре и используется для различных вычислений, таких как определение углов между векторами и проекций.

6. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов формулируется как \(a \cdot b = 0\). Это условие означает, что угол между этими векторами составляет \(90\) градусов, что делает их независимыми. Векторы, удовлетворяющие этому условию, могут быть использованы как базис для векторного пространства, так как они представляют собой различные направления. Перпендикулярные векторы находят применение в различных областях, включая физику, где они могут представлять независимые силы или направления движения.

7. Скалярное произведение векторов, если известны их координаты, вычисляется по формуле \(a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) для трехмерных векторов. Для векторов в \(n\)-мерном пространстве это обобщается до \(a \cdot b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\). Это позволяет легко находить скалярное произведение, используя только координаты векторов, что делает вычисление удобным и быстрым.

8. Косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны их координаты, находится по формуле \(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{||a|| \cdot ||b||}\). Здесь \(a \cdot b\) — это скалярное произведение векторов, а \(||a||\) и \(||b||\) — их длины, которые могут быть найдены по формуле \(||a|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\). Это позволяет находить угол между векторами, не вычисляя его напрямую, что упрощает анализ их взаимного расположения.

9. Свойства скалярного произведения векторов включают:
— Коммутативность: \(a \cdot b = b \cdot a\), что означает, что порядок векторов не влияет на результат.
— Дистрибутивность: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\), что позволяет разложить скалярное произведение на сумму.
— Ассоциативность относительно скалярного умножения: \((\alpha a) \cdot b = \alpha (a \cdot b)\) для любого скаляра \(\alpha\), что позволяет умножать вектор на скаляр перед вычислением скалярного произведения. Эти свойства делают скалярное произведение удобным инструментом для работы с векторами в различных математических и физических задачах.