ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Опишите, что такое преобразование фигуры.
2. В каком случае фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), а фигу- ру \(F\) — прообразом фигуры \(F_1\)?
3. Какое преобразование фигуры называют обратимым? Тожде- ственным?
4. Опишите, какое преобразование фигуры называют композицией преобразований.

1. Преобразование фигуры — это операция, изменяющая положение, размер или форму геометрической фигуры в пространстве.

2. Фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), если \(F_1\) получается из \(F\) в результате преобразования. Фигура \(F\) является прообразом фигуры \(F_1\).

3. Обратимым называется преобразование, которое можно отменить другим преобразованием, возвращающим фигуру в исходное состояние. Тождественным называется преобразование, при котором фигура остается неизменной.

4. Композицией преобразований называют последовательное применение двух или более преобразований к одной фигуре, где результатом является новая фигура, полученная после всех примененных преобразований.

1. Преобразование фигуры — это математическая операция, которая изменяет характеристики геометрической фигуры, такие как ее положение, размер или форму. Существует несколько типов преобразований, каждое из которых имеет свои свойства и применение. Основные виды преобразований включают сдвиги, повороты, отражения и масштабирования. Сдвиг фигуры осуществляется путем перемещения всех ее точек на одно и то же расстояние в одном направлении. Например, если фигура \(F\) задана точками с координатами \((x, y)\), то после сдвига на вектор \((a, b)\) новые координаты будут \((x + a, y + b)\). Поворот фигуры вокруг заданной точки изменяет угловое положение фигуры, при этом расстояние до центра поворота остается неизменным. Отражение фигуры происходит относительно заданной линии, что приводит к изменению ориентации фигуры. Масштабирование изменяет размер фигуры, увеличивая или уменьшая расстояние от центра масштабирования до каждой точки фигуры. Все эти преобразования можно описать с использованием матриц, что позволяет легко их комбинировать и анализировать.

2. Фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), если существует такое преобразование \(T\), которое переводит фигуру \(F\) в фигуру \(F_1\). Формально это можно записать как \(F_1 = T(F)\). В этом контексте фигура \(F\) называется прообразом фигуры \(F_1\). Это означает, что для каждой точки \(P\) фигуры \(F\) существует соответствующая точка \(P_1\) фигуры \(F_1\), такая что \(P_1 = T(P)\). Например, если мы применяем сдвиг к фигуре, то каждая точка фигуры смещается на одинаковое расстояние, и таким образом, новая фигура \(F_1\) является образом исходной фигуры \(F\). Важно отметить, что преобразование может быть как линейным, так и нелинейным, и в зависимости от типа преобразования, фигура может изменять свои размеры и углы, но сохранять свои основные пропорции.

3. Обратимым называется преобразование, которое можно отменить другим преобразованием. Если \(T\) — это преобразование, которое переводит фигуру \(F\) в фигуру \(F_1\), то существует обратное преобразование \(T^{-1}\), такое что \(T^{-1}(F_1) = F\). Это означает, что после применения \(T\) к \(F\) и затем \(T^{-1}\) к \(F_1\) мы получим исходную фигуру \(F\). Примером обратимого преобразования является вращение фигуры на 90 градусов по часовой стрелке, которое можно отменить вращением на 90 градусов против часовой стрелки. Тождественным называется преобразование, при котором фигура остается неизменной, что можно выразить формулой \(T(F) = F\). Это означает, что для каждого элемента фигуры результат преобразования совпадает с исходным элементом. Примером тождественного преобразования является операция, при которой каждая точка фигуры остается на месте, то есть фигура не изменяется.

4. Композицией преобразований называют последовательное применение двух или более преобразований к одной фигуре. Если \(T_1\) и \(T_2\) — два преобразования, то их композиция обозначается как \(T_2 \circ T_1\) и применяется к фигуре \(F\) следующим образом: сначала применяется \(T_1\), а затем \(T_2\), что можно записать как \(T_2(T_1(F))\). Это означает, что результатом применения композиции является новая фигура, полученная после применения всех преобразований. Например, если \(T_1\) — это сдвиг, а \(T_2\) — поворот, то фигура сначала сдвигается, а затем поворачивается, что приводит к изменению ее положения и ориентации в пространстве. Композиция преобразований позволяет создавать сложные трансформации, которые могут быть полезны в различных областях, таких как компьютерная графика, робототехника и архитектура.