ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Какое преобразование фигуры называют движением?
2. Сформулируйте свойства движения.
3. Какие две фигуры называют равными?
4. Опишите, какие движения называют взаимно обратными.
5. Опишите преобразование фигуры \(F\), которое называют парал- лельным переносом на вектор \(a\).
6. Сформулируйте свойство параллельного переноса.
7. Какими движениями являются параллельные переносы на векто- ры \(a\) и \(-a\)?

1. Движением фигуры называют преобразование, сохраняющее её форму и размеры.

2. Свойства движения: 1) сохраняется расстояние между точками; 2) сохраняется угол между прямыми; 3) сохраняется параллельность прямых.

3. Две фигуры называют равными, если они совпадают при некотором движении.

4. Взаимно обратными называют движения, одно из которых возвращает фигуру в её первоначальное положение после выполнения другого.

5. Параллельным переносом на вектор \(a\) называют преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на вектор \(a\).

6. Свойство параллельного переноса: при параллельном переносе сохраняются расстояния и углы.

7. Параллельные переносы на векторы \(a\) и \(-a\) являются взаимно обратными движениями.

1. Движением фигуры называют преобразование, которое сохраняет её форму и размеры. Это означает, что при выполнении такого преобразования все расстояния между точками фигуры остаются неизменными. Движения могут быть различных типов: например, это может быть вращение, отражение, параллельный перенос. Основная характеристика движения заключается в том, что оно не изменяет ни длину отрезков, ни величину углов, что позволяет сохранить геометрическую структуру фигуры. Важно отметить, что движение может быть выполнено в пространстве различной размерности, например, в двумерном или трехмерном пространстве, и для каждой размерности существуют свои особенности.

2. Свойства движения: 1) сохраняется расстояние между любыми двумя точками, что означает, что если \(d(P_1, P_2)\) — расстояние между точками \(P_1\) и \(P_2\) до движения, то после движения \(d'(P_1, P_2) = d(P_1, P_2)\); 2) сохраняется угол между любыми двумя прямыми, что подразумевает, что если угол \(\alpha\) между прямыми \(l_1\) и \(l_2\) до движения, то после движения угол также будет равен \(\alpha\); 3) сохраняется параллельность прямых, то есть если две прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны до движения, то они останутся параллельными и после; 4) сохраняется порядок расположения точек, что означает, что если точки \(A\), \(B\), \(C\) расположены в порядке \(A\), \(B\), \(C\), то после движения они останутся в том же порядке.

3. Две фигуры называют равными, если существует такое движение, при котором одна фигура может полностью совпасть с другой. Это означает, что можно наложить одну фигуру на другую так, что все соответствующие точки совпадут. Например, если фигура \(F_1\) может быть преобразована в фигуру \(F_2\) с помощью определённого движения, то \(F_1\) и \(F_2\) считаются равными. Равенство фигур является основополагающим понятием в геометрии, так как оно позволяет сравнивать фигуры и устанавливать их свойства.

4. Взаимно обратными называют движения, при которых одно движение возвращает фигуру в её первоначальное положение после выполнения другого. Например, если \(A\) — это движение, которое перемещает фигуру, а \(B\) — это движение, которое возвращает её обратно, то мы можем записать это как \(B(A(F)) = F\), где \(F\) — начальная фигура. Это свойство важно, так как оно позволяет нам понимать, как различные движения могут быть связаны между собой и как они могут компенсировать друг друга.

5. Параллельным переносом на вектор \(a\) называют преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на вектор \(a\). Если точка \(P\) имеет координаты \((x, y)\), то после переноса она будет иметь новые координаты \((x + a_x, y + a_y)\), где \(a_x\) и \(a_y\) — компоненты вектора \(a\). Это преобразование не изменяет ни форму, ни размеры фигуры, а лишь сдвигает её в пространстве. Параллельный перенос может быть выполнен в любом направлении и на любое расстояние, что делает его универсальным инструментом в геометрии.

6. Свойство параллельного переноса заключается в том, что при выполнении параллельного переноса сохраняются все расстояния и углы, что означает, что фигура сохраняет свою форму и размеры. Если рассмотреть две точки \(P_1\) и \(P_2\) до переноса, то расстояние между ними останется неизменным после переноса. Это свойство делает параллельный перенос важным инструментом для изучения геометрических фигур, так как оно позволяет анализировать их свойства без изменения их структуры.

7. Параллельные переносы на векторы \(a\) и \(-a\) являются взаимно обратными движениями, так как перенос на \(a\) сдвигает фигуру в одном направлении, а перенос на \(-a\) возвращает её в исходное положение. Это можно выразить формально: если фигура \(F\) была перемещена на вектор \(a\), то её координаты изменятся на \((x + a_x, y + a_y)\), а затем, если мы применим перенос на \(-a\), координаты вернутся к \((x, y)\). Таким образом, два этих движения полностью компенсируют друг друга, что подтверждает их взаимную обратимость.