ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Сформулируйте теорему косинусов.

2. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?

1. Сформулируйте теорему косинусов.
Теорема косинусов: Для любого треугольника с сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), противолежащими углам \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) соответственно, справедливо равенство:
\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab\cos\gamma\)

2. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?
В параллелограмме диагонали пересекаются под прямым углом, и длина каждой диагонали равна гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на двух смежных сторонах параллелограмма.

1. Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углом \(C\), противоположным стороне \(c\), выполняется равенство:

\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(C)\).

Если угол \(C\) прямой (90 градусов), то теорема косинусов сводится к теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\).

В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Если обозначить стороны параллелограмма как \(AB\) и \(BC\), а диагонали как \(AC\) и \(BD\), то выполняется следующее:

1. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), которая является серединой обеих диагоналей: \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
2. Длину диагонали можно выразить через стороны и угол между ними. Если \(A\) и \(B\) — это соседние вершины, то длины диагоналей вычисляются по формуле:

\(d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha)\) и \(d_2^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(\alpha)\),

где \(d_1\) и \(d_2\) — длины диагоналей, \(a\) и \(b\) — длины сторон, а \(\alpha\) — угол между ними.

2. В параллелограмме диагонали имеют определенные связи с его сторонами. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Обозначим длины сторон как \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = a\) и \(DA = b\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

1. Свойство диагоналей: диагонали параллелограмма пересекаются и делят друг друга пополам. То есть, \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Это означает, что каждая диагональ делится на две равные части.

2. Формулы для длины диагоналей: длины диагоналей \(AC\) и \(BD\) можно вычислить с использованием теоремы косинусов. Для этого введем угол между сторонами \(AB\) и \(AD\), обозначим его как \(\alpha\).

3. Длина диагонали \(AC\) вычисляется по формуле:

\(AC^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha)\).

Подставляя значения, получаем:

\(AC^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(\alpha)\).

4. Длина диагонали \(BD\) также вычисляется аналогично, но с учетом угла между сторонами \(BC\) и \(CD\), который равен \(180^\circ — \alpha\):

\(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(180^\circ — \alpha)\).

Так как \(\cos(180^\circ — \alpha) = -\cos(\alpha)\), получаем:

\(BD^2 = b^2 + a^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha)\).

5. Таким образом, можно заметить, что длины диагоналей связаны с длинами сторон и углом между ними. Если угол \(\alpha\) равен \(90^\circ\), тогда обе диагонали будут равны:

\(AC^2 = a^2 + b^2\) и \(BD^2 = a^2 + b^2\).

6. В общем случае, длины диагоналей зависят от значений \(a\), \(b\) и угла \(\alpha\), что показывает, как диагонали изменяются при изменении углов и длин сторон.

7. Применяя эти формулы, можно анализировать различные случаи параллелограммов: ромбы, прямоугольники и квадраты, где угол \(\alpha\) равен \(90^\circ\) или \(0^\circ\).

8. Важно отметить, что параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а параллелограмм с равными сторонами и равными диагоналями — ромбом.

9. В заключение, диагонали параллелограмма имеют четкую связь со сторонами и углами, и их длины можно выразить через стороны и угол между ними, что делает параллелограммы интересными фигурами для изучения геометрии.

10. Эти свойства и соотношения диагоналей помогают в решении задач, связанных с параллелограммами, и применяются в различных областях математики и физики.