ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Какие точки называют симметричными относительно прямой? Как называют прямую?
2. Какие фигуры называют симметричными относительно прямой?
3. Сформулируйте свойство осевой симметрии.
4. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно прямой?
5. О какой фигуре говорят, что она имеет ось симметрии?
6. Приведите примеры фигур, имеющих ось симметрии.

1. Симметричными относительно прямой называют точки, для которых прямая является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Прямую называют осью симметрии.

2. Симметричными фигурами относительно прямой называют фигуры, которые при отражении относительно этой прямой совпадают с собой.

3. Свойство осевой симметрии: если точка \( A \) имеет симметричную точку \( A’ \) относительно прямой \( l \), то прямая \( l \) является перпендикуляром к отрезку \( AA’ \) и делит его пополам.

4. Фигуры, симметричные относительно прямой, обладают свойством, что для любой точки фигуры существует соответствующая симметричная точка, также принадлежащая фигуре.

5. О фигуре говорят, что она имеет ось симметрии, если существует прямая, относительно которой фигура симметрична.

6. Примеры фигур, имеющих ось симметрии: квадрат, круг, равнобедренный треугольник, прямоугольник.

1. Симметричными относительно прямой называют две точки \( A \) и \( B \), если прямая \( l \) является серединой отрезка \( AB \). Это означает, что если провести перпендикуляр из точки \( A \) к прямой \( l \) и обозначить точку пересечения как \( O \), то точка \( O \) будет серединой отрезка \( AB \). В этом случае выполняется равенство \( AO = OB \). Прямая \( l \) в таком случае называется осью симметрии, поскольку она делит отрезок \( AB \) на две равные части и отражает точку \( A \) в точку \( B \).

2. Симметричными фигурами относительно прямой называют такие фигуры, которые при отражении относительно этой прямой совпадают с собой. Это значит, что если взять любую точку фигуры и провести прямую, которая будет являться осью симметрии, то отраженная точка также будет находиться на фигуре. Например, если у нас есть треугольник, и мы проведем его ось симметрии, то отражение каждой точки треугольника относительно этой оси также будет находиться на треугольнике. Таким образом, все точки фигуры имеют свои симметричные пары.

3. Свойство осевой симметрии можно сформулировать следующим образом: если точка \( A \) имеет симметричную точку \( A’ \) относительно прямой \( l \), то прямая \( l \) является перпендикуляром к отрезку \( AA’ \) и делит его пополам. Это означает, что расстояние от точки \( A \) до прямой \( l \) равно расстоянию от точки \( A’ \) до той же прямой. В математическом выражении это можно записать как \( OA = OA’ \), где \( O \) — это проекция точки \( A \) на прямую \( l \). Это свойство позволяет установить взаимосвязь между точками и их симметричными парами, что является основой для изучения симметрии.

4. Фигуры, симметричные относительно прямой, имеют особое свойство: для каждой точки фигуры существует соответствующая симметричная точка, также принадлежащая фигуре. Это означает, что если \( P \) — точка фигуры, то её симметричная точка \( P’ \) также принадлежит этой фигуре. Например, если взять круг, то для любой точки на окружности существует другая точка, находящаяся на той же окружности, которая является симметричной относительно центра круга. Это свойство делает симметричные фигуры визуально привлекательными и упрощает их изучение.

5. О фигуре говорят, что она имеет ось симметрии, если существует прямая \( l \), относительно которой фигура симметрична. Это означает, что при отражении фигуры относительно прямой \( l \) она полностью совпадает сама с собой. Например, если взять квадрат, то его оси симметрии проходят через середины сторон и диагонали. Каждый раз, когда мы отражаем квадрат относительно одной из этих осей, он остается неизменным. Это свойство позволяет легко определить симметричность фигуры и её геометрические характеристики.

6. Примеры фигур, имеющих ось симметрии, включают: квадрат, который имеет 4 оси симметрии (две вертикальные, две горизонтальные и две диагональные); круг, который имеет бесконечно много осей симметрии, проходящих через центр; равнобедренный треугольник, у которого одна ось симметрии проходит через вершину и середину основания; прямоугольник, имеющий 2 оси симметрии (одну вертикальную и одну горизонтальную). Эти примеры иллюстрируют, как различные фигуры могут демонстрировать симметричные свойства и как это влияет на их геометрию.