ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Какие точки называют симметричными относительно точки О? Как называют точку О?
2. Какие фигуры называют симметричными относительно точки О?
3. Сформулируйте свойство центральной симметрии.
4. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно точки?
5. О какой фигуре говорят, что она имеет центр симметрии?
6. Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии.

1. Точки A и B называют симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка AB. Точка O называется центром симметрии.

2. Фигуры, симметричные относительно точки O, имеют одинаковые части, расположенные на равном расстоянии от точки O в противоположных направлениях.

3. Свойство центральной симметрии: для любой точки A существует точка A’, такая что O является серединой отрезка AA’.

4. Фигуры, симметричные относительно точки, обладают одинаковыми размерами и формами, но противоположно ориентированы.

5. О фигуре говорят, что она имеет центр симметрии, если для каждой её точки существует симметричная ей точка относительно этого центра.

6. Примеры фигур, имеющих центр симметрии: круг, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник.

1. Точки A и B называют симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка AB. Это означает, что расстояние от O до A равно расстоянию от O до B, то есть \( OA = OB \). В координатной системе, если O имеет координаты \( (x_O, y_O) \), то координаты точки A могут быть обозначены как \( (x_A, y_A) \), а точки B как \( (x_B, y_B) \). Для симметрии относительно точки O выполняется условие: \( x_O = \frac{x_A + x_B}{2} \) и \( y_O = \frac{y_A + y_B}{2} \). Таким образом, если известны координаты одной из точек и центра симметрии, можно найти координаты другой точки. Точка O, выполняющая эту роль, называется центром симметрии, и она обладает свойством делить отрезок AB пополам.

2. Фигуры, симметричные относительно точки O, имеют важное свойство: для каждой точки фигуры существует соответствующая симметричная точка, расположенная на прямой, проходящей через O и находящаяся на равном расстоянии от O. Это значит, что если точка A принадлежит фигуре, то существует точка A’, такая что O является серединой отрезка AA’. Например, если фигура состоит из множества точек, то каждая пара симметричных точек будет находиться на одной прямой, проходящей через O. Если мы возьмем круг с центром O, все точки на окружности этого круга будут симметричны относительно O. Таким образом, симметричные фигуры сохраняют свои размеры и формы, но меняют своё положение в пространстве.

3. Свойство центральной симметрии заключается в том, что для каждой точки A фигуры существует уникальная точка A’, такая что O является серединой отрезка AA’. Это может быть выражено математически: если \( A(x_A, y_A) \) — это точка фигуры, то её симметричная точка \( A'(x_{A’}, y_{A’}) \) будет находиться по формуле \( x_{A’} = 2x_O — x_A \) и \( y_{A’} = 2y_O — y_A \). Это свойство позволяет легко находить симметричные точки и помогает в построении различных фигур, имеющих центр симметрии. Например, если мы знаем координаты точки A и координаты центра O, мы можем вычислить координаты A’ и тем самым построить симметричную фигуру.

4. Фигуры, симметричные относительно точки, обладают свойством, что их элементы (например, стороны, углы) имеют одинаковые размеры и формы, но расположены в противоположных направлениях относительно центра симметрии. Это означает, что если мы проведем линию, соединяющую две симметричные точки, эта линия будет проходить через центр симметрии и делить её пополам. Например, в квадрате, имеющем центр симметрии в его центре, каждая пара противоположных вершин будет симметрична относительно этого центра. Это свойство также позволяет утверждать, что если фигура имеет центр симметрии, то её периметр и площадь остаются неизменными при отражении относительно этого центра.

5. О фигуре говорят, что она имеет центр симметрии, если для каждой точки фигуры существует симметричная ей точка относительно этого центра. Это значит, что если мы возьмем любую точку A на фигуре, то будет существовать точка A’, такая что O является серединой отрезка AA’. Например, если у нас есть треугольник, и O — это его центр, то для каждой вершины треугольника можно найти соответствующую симметричную вершину, которая также будет находиться на одной прямой с O. Таким образом, все точки фигуры будут находиться в симметричном положении относительно центра, что делает фигуру устойчивой к отражению.

6. Примеры фигур, имеющих центр симметрии, включают круг, квадрат, ромб, прямоугольник и равносторонний треугольник. У круга центр симметрии находится в его центре, и все точки на окружности симметричны относительно этого центра. У квадрата и ромба также есть центры симметрии в их центрах, где каждая пара противоположных вершин является симметричной. Прямоугольник имеет аналогичное свойство, где его диагонали пересекаются в центре симметрии. Равносторонний треугольник также симметричен относительно своего центра, где каждая вершина имеет симметричную точку, расположенную на противоположной стороне.