ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Опишите преобразование поворот вокруг точки.
2. Сформулируйте свойство поворота.
3. Каким свойством обладают фигуры, если одна из них является образом другой при повороте?

1. Преобразование поворота вокруг точки \( O \) заключается в изменении положения точки \( A \) на плоскости так, что она перемещается по окружности радиуса \( r \) с центром в точке \( O \) на угол \( \theta \) в заданном направлении.

2. Свойство поворота: при повороте фигуры сохраняются ее размеры и форма, а также расстояния между точками.

3. Если одна фигура является образом другой при повороте, то они обладают свойством равенства: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

1. Преобразование поворота вокруг точки \( O \) является важным понятием в геометрии и используется для изменения положения точек на плоскости. При выполнении поворота точка \( A \) перемещается по окружности с радиусом \( r \), где \( r \) — это расстояние от точки \( O \) до точки \( A \). Угол поворота \( \theta \) измеряется в градусах или радианах и определяет направление, в котором происходит поворот: по часовой стрелке или против часовой стрелки. Если обозначить координаты точки \( A \) как \( (x, y) \) и координаты точки \( O \) как \( (O_x, O_y) \), то после поворота на угол \( \theta \) новая позиция точки \( A’ \) будет вычисляться с помощью формул, основанных на тригонометрии. Конкретно, новые координаты \( A’ \) можно найти по следующим формулам:

\( x’ = O_x + (x — O_x) \cos(\theta) — (y — O_y) \sin(\theta) \)

\( y’ = O_y + (x — O_x) \sin(\theta) + (y — O_y) \cos(\theta) \).

Эти формулы показывают, как изменяются координаты точки \( A \) в результате поворота, учитывая как смещение относительно центра поворота, так и применение тригонометрических функций для определения новых координат.

2. Свойство поворота заключается в том, что при этом преобразовании сохраняются все геометрические характеристики фигуры. Это означает, что длины всех сторон фигуры остаются неизменными, а углы между сторонами также сохраняются. Например, если фигура \( ABC \) поворачивается вокруг точки \( O \) на угол \( \theta \), то фигура \( A’B’C’ \), полученная в результате этого поворота, будет иметь такие же длины сторон, как и фигура \( ABC \). Это свойство является основополагающим в геометрии, так как позволяет утверждать, что фигуры, полученные из одной другой путем поворота, являются равными. Кроме того, если рассматривать два треугольника, один из которых является образом другого после поворота, то они будут равны по всем параметрам: соответствующие стороны равны, а соответствующие углы равны. Это свойство делает поворот важным инструментом в доказательствах и решении задач в геометрии.

3. Если одна фигура является образом другой при повороте, то они обладают свойством равенства и симметрии. Это означает, что все соответствующие углы между сторонами равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, если фигура \( A \) поворачивается вокруг точки \( O \) и становится фигурой \( B \), то для каждой пары соответствующих углов \( \angle A_i \) и \( \angle B_i \) выполняется равенство \( \angle A_i = \angle B_i \). Аналогично, для каждой пары соответствующих сторон \( a_i \) и \( b_i \) выполняется соотношение \( \frac{a_i}{b_i} = 1 \). Это означает, что фигуры не только равны по форме, но и имеют одинаковые размеры. Более того, если одна фигура является образом другой при повороте, то они также имеют одинаковые центры симметрии, что является дополнительным подтверждением их равенства. Таким образом, поворот сохраняет не только размеры и формы, но и симметричные свойства фигур, что делает его важным инструментом в изучении геометрии.