ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. В каком случае говорят, что точка Х, является образом точки Х при гомотетии с центром О и коэффициентом \(k\)?
2. Опишите преобразование фигуры F, которое называют гомотети- ей с центром О и коэффициентом \(k\).
3. Как изменяется расстояние между точками при гомотетии с коэф- фициентом \(k\)?
4. Сформулируйте свойства гомотетии.
5. Какие фигуры называют подобными?
6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?

1. Точка \(X’\) является образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если \(X’ = O + k(X — O)\).

2. Преобразование фигуры \(F\) называется гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если каждый элемент фигуры \(F\) преобразуется в точку, находящуюся на прямой \(OX\) на расстоянии \(k\) раз больше или меньше, чем расстояние от \(O\) до \(X\).

3. Расстояние между точками \(A\) и \(B\) при гомотетии с коэффициентом \(k\) изменяется по правилу \(d'(A’, B’) = |k| \cdot d(A, B)\).

4. Свойства гомотетии: 1) Все точки, не совпадающие с центром, движутся по прямым линиям, проходящим через центр; 2) Отношение расстояний от центра до соответствующих точек равно \(k\); 3) Гомотетия сохраняет углы; 4) Образы параллельных линий остаются параллельными.

5. Подобными называют фигуры, у которых соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

6. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения сходственных сторон, то есть \(\left(\frac{a}{b}\right)^2\), где \(a\) и \(b\) — соответствующие стороны.

1. Точка \(X’\) является образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если выполняется равенство: \(X’ = O + k(X — O)\). Здесь \(O\) — это координаты центра гомотетии, а \(k\) — коэффициент, который определяет, насколько изменится расстояние от центра до точки \(X\). Если \(k > 1\), то точка \(X’\) будет находиться дальше от \(O\) по сравнению с \(X\), а если \(0 < k < 1\), то точка \(X’\) будет ближе к центру \(O\). Если \(k < 0\), то направление перемещения будет противоположным, и точка \(X’\) окажется на той же прямой, что и \(X\), но с противоположной стороны относительно \(O\).

2. Преобразование фигуры \(F\) называется гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если для каждой точки \(X\) фигуры \(F\) образуется новая точка \(X’\), которая определяется по формуле \(X’ = O + k(X — O)\). Это означает, что каждая точка фигуры \(F\) перемещается по прямой линии, проходящей через центр \(O\). При этом расстояние от \(O\) до \(X’\) будет равно \(k\) умноженному на расстояние от \(O\) до \(X\). Если фигура \(F\) состоит из нескольких точек, то все они будут преобразованы аналогичным образом, сохраняя свою конфигурацию, но изменяя размер в соответствии с коэффициентом \(k\). Таким образом, гомотетия сохраняет форму фигуры, но может изменять её размер.

3. При гомотетии с коэффициентом \(k\) расстояние между двумя точками \(A\) и \(B\) изменяется по формуле \(d'(A’, B’) = |k| \cdot d(A, B)\), где \(d(A, B)\) — расстояние между исходными точками \(A\) и \(B\), а \(d'(A’, B’)\) — расстояние между их образами \(A’\) и \(B’\). Если \(k\) положительно, то расстояние увеличивается в \(k\) раз, а если \(k\) отрицательно, то расстояние также увеличивается, но направление между точками меняется. Например, если \(k = 2\), то расстояние удваивается, а если \(k = -1\), то расстояние остается тем же, но точки \(A’\) и \(B’\) окажутся на противоположных концах от центра \(O\).

4. Свойства гомотетии: 1) Все точки, отличные от центра \(O\), движутся по прямым линиям, проходящим через центр, что означает, что их относительное расположение относительно центра сохраняется. 2) Отношение расстояний от центра до соответствующих точек равно коэффициенту \(k\), что позволяет рассматривать гомотетию как масштабирование фигуры. 3) Гомотетия сохраняет углы, то есть углы между соответствующими сторонами исходной и преобразованной фигур остаются равными, что указывает на сохранение формы. 4) Образы параллельных линий остаются параллельными, что подтверждает, что гомотетия не искажает углы между линиями. 5) Гомотетия может быть выполнена в любом направлении и масштабе, что делает её универсальным инструментом в геометрии.

5. Подобными называют фигуры, у которых соответствующие углы равны, а длины соответствующих сторон пропорциональны. Это означает, что если две фигуры \(F_1\) и \(F_2\) подобны, то для всех соответствующих пар углов \( \angle A_1 = \angle A_2\), \( \angle B_1 = \angle B_2\) и так далее. Кроме того, если \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) — стороны первой фигуры, а \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\) — стороны второй фигуры, то выполняется равенство \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k\), где \(k\) — коэффициент подобия. Это свойство позволяет использовать подобные фигуры для решения задач в геометрии, поскольку можно применять отношения между сторонами и углами.

6. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон, то есть \(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2\), где \(S_1\) и \(S_2\) — площади многоугольников, а \(a\) и \(b\) — длины соответствующих сторон. Это означает, что если одна фигура в \(k\) раз больше другой, то её площадь будет в \(k^2\) раз больше. Например, если одна сторона многоугольника равна 2, а соответствующая сторона другого многоугольника равна 1, то отношение площадей будет равно \(\left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4\). Таким образом, это свойство позволяет легко вычислять площади подобных фигур, зная лишь длины их сторон.