ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Как найти хорду окружности, если известны диаметр окружности и вписанный угол, опирающийся на эту хорду?

2. Сформулируйте теорему синусов.

3. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника со стороной \(a\) и противолежащим этой стороне углом \(a\)?

1 Чтобы найти хорду окружности, если известны диаметр \(D\) и вписанный угол \(\alpha\), используем формулу \(c = D \cdot \sin(\alpha)\), где \(c\) — длина хорды.

2 Теорема синусов утверждает, что \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\), где \(R\) — радиус описанной окружности треугольника.

3 Радиус окружности, описанной около треугольника со стороной \(a\) и углом \(A\), вычисляется по формуле \(R = \frac{a}{2 \cdot \sin(A)}\).

1. Чтобы найти хорду окружности, если известны диаметр окружности \(D\) и вписанный угол \(\alpha\), можно воспользоваться следующими шагами:

— Определим радиус окружности \(R\) как половину диаметра: \(R = \frac{D}{2}\).
— Вписанный угол \(\alpha\) опирается на хорду \(AB\). По свойству вписанного угла, он равен половине угла, соответствующего центральному углу, который опирается на ту же хорду: \(\alpha = \frac{1}{2} \theta\), где \(\theta\) — центральный угол.
— Таким образом, центральный угол \(\theta = 2\alpha\).
— Хорда \(AB\) может быть найдена по формуле: \(c = 2R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\).
— Подставляем значение радиуса: \(c = 2 \cdot \frac{D}{2} \cdot \sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = D \cdot \sin(\alpha)\).
— Следовательно, хорда \(AB\) равна \(c = D \cdot \sin(\alpha)\).

2. Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является постоянным. Формально это можно записать следующим образом:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\),

где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, \(A\), \(B\), \(C\) — углы треугольника, а \(R\) — радиус окружности, описанной около треугольника.

3. Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника со стороной \(a\) и противолежащим углом \(A\), используем следующую формулу:

\(R = \frac{a}{2 \cdot \sin(A)}\).

Эта формула выводится из теоремы синусов, где \(a\) — длина стороны, а \(A\) — противолежащий угол.