ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Что означает решить треугольник?

Решить треугольник означает найти все его стороны и углы, зная некоторые из них.

Решить треугольник означает найти все его стороны и углы, зная некоторые из них. Рассмотрим пример: дан треугольник ABC, в котором известны две стороны \(a = 7\) и \(b = 5\), а также угол \(C = 60^\circ\).

1. Используем закон косинусов для нахождения третьей стороны \(c\):
\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(C)\).
Подставляем известные значения:
\(c^2 = 7^2 + 5^2 — 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)\).
Зная, что \(\cos(60^\circ) = 0.5\), получаем:
\(c^2 = 49 + 25 — 35 = 39\).
Таким образом, \(c = \sqrt{39} \approx 6.24\).

2. Теперь находим угол \(A\) с помощью закона синусов:
\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\).
Сначала найдем угол \(B\):
\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\).
Подставляем:
\(\frac{7}{\sin(A)} = \frac{\sqrt{39}}{\sin(60^\circ)}\).
Зная, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:
\(\frac{7}{\sin(A)} = \frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).
Переписываем уравнение:
\(7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{39} \cdot \sin(A)\).
Таким образом:
\(\sin(A) = \frac{7\sqrt{3}/2}{\sqrt{39}}\).

3. Находим угол \(A\):
\(A = \arcsin\left(\frac{7\sqrt{3}/2}{\sqrt{39}}\right)\).
После вычислений получаем \(A \approx 62.73^\circ\).

4. Угол \(B\) находим как:
\(B = 180^\circ — A — C\).
Подставляем:
\(B = 180^\circ — 62.73^\circ — 60^\circ \approx 57.27^\circ\).

Итак, мы нашли все стороны и углы треугольника ABC:
Стороны: \(a = 7\), \(b = 5\), \(c \approx 6.24\); углы: \(A \approx 62.73^\circ\), \(B \approx 57.27^\circ\), \(C = 60^\circ\).