ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Как можно найти площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними?
2. Запишите формулу Герона для вычисления площади треугольника.
3. Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности?

1 Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C$$

где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $C$ — угол между ними.

2 Формула Герона для площади треугольника:

$$S = \sqrt{s(s — a)(s — b)(s — c)}$$

где $a$, $b$, и $c$ — стороны треугольника, а $s = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.

3 Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус описанной окружности.

Как можно найти площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними?

Если в треугольнике известны две стороны $a$ и $b$, а также угол между ними $C$, то площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C$$

где:

$a$ и $b$ — это длины двух сторон треугольника,

$C$ — угол между этими сторонами, измеряемый в радианах или градусах.

Эта формула является производной от определения площади треугольника через основание и высоту, где одна из сторон $a$ или $b$ принимается за основание, а вторая сторона умножается на синус угла между ними, что дает эффективное вычисление площади.

Пример: если $a = 5$ см, $b = 8$ см, а угол $C = 60^\circ$, то:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \, \text{см}^2.$$

Запишите формулу Герона для вычисления площади треугольника.

Формула Герона используется для вычисления площади треугольника, когда известны все три его стороны $a$, $b$ и $c$. Для этого нужно вычислить полупериметр $s$ треугольника, который равен:

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

После этого площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \sqrt{s(s — a)(s — b)(s — c)}$$

где:

$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника,

$s$ — полупериметр, который можно интерпретировать как половину периметра треугольника.

Эта формула удобна, когда напрямую не известна высота треугольника, но известны все его стороны.

Пример: если $a = 7$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см, то сначала находим полупериметр:

$$s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12.$$

Затем находим площадь:

$$S = \sqrt{12(12 — 7)(12 — 8)(12 — 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26.83 \, \text{см}^2.$$

Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности?

Когда известны три стороны треугольника $a$, $b$, $c$, а также радиус описанной окружности $R$, площадь можно найти по формуле:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

где:

$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника,

$R$ — радиус описанной окружности.

Эта формула является следствием того, что площадь треугольника может быть выражена через его стороны и радиус описанной окружности, используя свойства треугольника и окружности, описывающей его.

Пример: если $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см, и радиус описанной окружности $R = 5$ см, то:

$$S = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 5} = \frac{480}{20} = 24 \, \text{см}^2.$$

Этот способ особенно полезен, когда радиус окружности известен, и прямое использование формулы для площади с высотой неудобно или невозможно.