ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Какой многоугольник называют правильным?
2. Каким общим свойством обладают все правильные многоугольники?
3. Что называют центром правильного многоугольника?
4. Запишите формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного \(n\)-угольника, треугольника, четырёхугольника, шестиугольника

1 Правильным многоугольником называют многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

2 Все правильные многоугольники обладают общим свойством: их вершины лежат на одной окружности, а их стороны и углы равны.

3 Центром правильного многоугольника называют точку, в которой пересекаются его диагонали, и которая является центром окружности, описанной около многоугольника.

4 Формулы радиусов окружностей для правильного $n$-угольника:

Радиус описанной окружности $R$ (для правильного $n$-угольника):

$$R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

где $a$ — длина стороны.

Радиус вписанной окружности $r$ (для правильного $n$-угольника):

$$r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

Для треугольника, четырёхугольника и шестиугольника:

Треугольник ($n = 3$):

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}, \quad r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

Четырёхугольник (квадрат, $n = 4$):

$$R = \frac{a}{\sqrt{2}}, \quad r = \frac{a}{2}$$

Шестиугольник ($n = 6$):

$$R = a, \quad r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$

1 Какой многоугольник называют правильным?

Правильным многоугольником называют многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Это означает, что в правильном многоугольнике длина каждой стороны одинаковая, и каждый угол между двумя соседними сторонами также одинаков. Вся симметрия правильного многоугольника сохраняется относительно его центра, и его вершины лежат на одной окружности, которая называется описанной окружностью.

2 Каким общим свойством обладают все правильные многоугольники?

Все правильные многоугольники обладают несколькими общими свойствами:

Их вершины лежат на одной окружности, которая называется описанной окружностью.

Все их стороны одинаковой длины.

Все внутренние углы одинаковы.

Все углы между соседними сторонами также равны.

Все правильные многоугольники обладают осевой симметрией, причем оси симметрии проходят через вершины и середины сторон (если такие есть).

Правильные многоугольники также имеют центральную симметрию относительно своего центра.

3 Что называют центром правильного многоугольника?

Центром правильного многоугольника называют точку, которая является центром симметрии этого многоугольника. В правильном многоугольнике этот центр — это точка пересечения всех его диагоналей (если они существуют). Кроме того, эта точка является центром описанной окружности, то есть она лежит в центре окружности, на которой находятся все вершины многоугольника. Важно, что для правильных многоугольников центр является также центром инкрустированной окружности (вписанной окружности), которая касается всех сторон многоугольника.

4 Запишите формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного $n$-угольника, треугольника, четырёхугольника, шестиугольника.

Для любого правильного $n$-угольника (многоугольника с $n$ сторонами) существуют две ключевые окружности: описанная (окружность, проходящая через все вершины многоугольника) и вписанная (окружность, касающаяся всех сторон многоугольника). Радиусы этих окружностей зависят от длины стороны многоугольника $a$ и числа его сторон $n$.

• Радиус описанной окружности для правильного $n$-угольника:

  $$R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$где $a$ — длина стороны многоугольника, а $n$ — количество его сторон. Эта формула описывает радиус окружности, в которую можно вписать все вершины многоугольника.

• Радиус вписанной окружности для правильного $n$-угольника:

  $$r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$где $a$ — длина стороны многоугольника, а $n$ — количество его сторон. Эта формула описывает радиус окружности, которая касается всех сторон многоугольника.

Конкретные примеры для треугольника, четырёхугольника и шестиугольника:

Для правильного треугольника (н = 3):

Для треугольника:

• Радиус описанной окружности:

  $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

• Радиус вписанной окружности:

  $$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

Эти формулы показывают, что радиус описанной окружности в 3 раза больше, чем радиус вписанной.

Для правильного четырёхугольника (квадрат) (н = 4):

Для квадрата:

• Радиус описанной окружности:

  $$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

• Радиус вписанной окружности:

  $$r = \frac{a}{2}$$

Радиус описанной окружности квадрата в $\sqrt{2}$ раз больше радиуса вписанной.

Для правильного шестиугольника (н = 6):

Для шестиугольника:

• Радиус описанной окружности:

  $$R = a$$

• Радиус вписанной окружности:

  $$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$

В шестиугольнике радиус описанной окружности равен длине его стороны, а радиус вписанной окружности составляет $\frac{a \sqrt{3}}{2}$.