ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

2. Как найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, если известны координаты его концов?

1 Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ можно найти по формуле:

$$d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}$$

2 Координаты точки, которая делит отрезок в отношении $m : n$, можно найти по формуле:

$$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \quad y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}$$

1 Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

Для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ используется формула, основанная на теореме Пифагора. Представим, что эти точки заданы на плоскости. Разница по оси $x$ между точками равна $x_2 — x_1$, а разница по оси $y$ — $y_2 — y_1$. Эти разницы можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника, а расстояние между точками — как его гипотенузу. Таким образом, расстояние между двумя точками $d$ вычисляется по следующей формуле:

$$d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}$$

где:

• $x_1, y_1$ — координаты первой точки,
• $x_2, y_2$ — координаты второй точки.

Например, если $A(1, 2)$ и $B(4, 6)$, то расстояние между этими точками будет:

$$d = \sqrt{(4 — 1)^2 + (6 — 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ равно 5.

2 Как найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, если известны координаты его концов?

Для нахождения координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении $m : n$, используется формула, называемая формулой деления отрезка. Пусть $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ — координаты концов отрезка, а точка $P(x, y)$ делит отрезок в отношении $m : n$, где $m$ и $n$ — это заданные числа. Тогда координаты точки $P$ вычисляются по следующим формулам:

$$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \quad y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}$$

Эти формулы основаны на принципе взвешенного среднего, где $m$ и $n$ определяют «вес» каждого из концов отрезка для расчета координат точки, делящей его.

Например, если точки $A(1, 2)$ и $B(5, 6)$, и точка $P$ делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$, то координаты точки $P$ будут:

$$x = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 1}{1 + 2} = \frac{5 + 2}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$$ $$y = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{6 + 4}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$$

Таким образом, координаты точки $P$, делящей отрезок в отношении 1:2, равны $\left( \frac{7}{3}, \frac{10}{3} \right)$, или приблизительно $(2.33, 3.33)$.