ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы. Параграф 9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Что называют уравнением фигуры, заданной на плоскости ху?

2. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в точке \((a; b)\) и радиусом \(R\)?

3. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(R\)?

1 Уравнением фигуры, заданной на плоскости $xy$, называют математическое выражение, которое описывает все точки, принадлежащие этой фигуре

2 Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$$(x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2$$

3 Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$ имеет вид:

$$x^2 + y^2 = R^$$

1 Что называют уравнением фигуры, заданной на плоскости $xy$?

Уравнением фигуры на плоскости $xy$ называют математическое выражение, которое описывает все точки, принадлежащие этой фигуре. В случае двумерной геометрической фигуры (например, окружности, параболы, прямой или кривой) уравнение представляет собой соотношение между координатами точек этой фигуры. В зависимости от типа фигуры уравнение может быть линейным, квадратичным, рациональным или более сложным, но всегда оно определяет множество точек, которые лежат на данной фигуре.

Например, для окружности на плоскости $xy$ уравнение будет показывать, как связаны координаты всех точек окружности с её центром и радиусом.

2 Какой вид имеет уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$?

Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ может быть выведено из геометрического определения окружности. Окружность — это множество точек на плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) одинаково и равно радиусу. Если точка $P(x, y)$ лежит на окружности, то её расстояние до центра окружности $C(a, b)$ должно быть равно $R$.

Расстояние между двумя точками $P(x, y)$ и $C(a, b)$ вычисляется по формуле:

$$d = \sqrt{(x — a)^2 + (y — b)^2}$$

Так как расстояние от точки $P$ до центра $C$ должно быть равно радиусу $R$, получаем уравнение:

$$\sqrt{(x — a)^2 + (y — b)^2} = R$$

Возведя обе части в квадрат, получаем стандартное уравнение окружности:

$$(x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2$$

Это уравнение описывает все точки окружности, где $(x, y)$ — координаты точки на окружности, $(a, b)$ — координаты её центра, а $R$ — радиус.

3 Какой вид имеет уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$?

Если центр окружности находится в начале координат, то его координаты равны $(0, 0)$. В этом случае уравнение окружности с радиусом $R$ можно получить из предыдущего уравнения окружности, подставив в него значения $a = 0$ и $b = 0$:

$$(x — 0)^2 + (y — 0)^2 = R^2$$

Упрощая, получаем:

$$x^2 + y^2 = R^2$$

Это стандартное уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$. Оно описывает все точки, которые находятся на расстоянии $R$ от начала координат