ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равен:
1) \( \sin (180^\circ — \alpha) \), если \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \);

2) \( \cos (180^\circ — \alpha) \), если \( \cos \alpha = 0,7 \);

3) \( \cos (180^\circ — \alpha) \), если \( \cos \alpha = -\frac{4}{9} \);

4) \( \tan (180^\circ — \alpha) \), если \( \tan \alpha = -5 \);

5) \( \cot (180^\circ — \alpha) \), если \( \cot \alpha = -\frac{1}{3} \).

1) \( \sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha = \frac{1}{3} \)
2) \( \cos (180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha = -0,7 \)
3) \( \cos (180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha = -\left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{4}{9} \)
4) \( \tan (180^\circ — \alpha) = -\tan \alpha = -(-5) = 5 \)
5) \( \cot (180^\circ — \alpha) = -\cot \alpha = -\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \)

Для вычисления значений тригонометрических функций от угла \(180^\circ — \alpha\) необходимо использовать свойства тригонометрии, связанные с углами, смежными с \(180^\circ\). В частности, формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла \(180^\circ — \alpha\) имеют определённые знаки и значения, которые зависят от знака исходной функции от угла \(\alpha\).

Начнём с синуса. Известно, что \( \sin(180^\circ — \alpha) = \sin \alpha \). Это связано с тем, что точка на единичной окружности, соответствующая углу \(180^\circ — \alpha\), симметрична точке, соответствующей углу \(\alpha\), относительно оси Oy. По условию \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \), поэтому \( \sin(180^\circ — \alpha) = \frac{1}{3} \). Здесь знак синуса сохраняется, так как обе точки находятся в первой и второй четвертях, где синус положителен.

Далее рассмотрим косинус. Формула для косинуса угла \(180^\circ — \alpha\) выражается как \( \cos(180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha \). Это объясняется тем, что косинус — это проекция точки на ось Ox, и при переходе от угла \(\alpha\) к углу \(180^\circ — \alpha\) эта проекция меняет знак. Например, если \( \cos \alpha = 0,7 \), то \( \cos(180^\circ — \alpha) = -0,7 \). Если же \( \cos \alpha = -\frac{4}{9} \), то \( \cos(180^\circ — \alpha) = -\left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{4}{9} \). Таким образом, знак косинуса меняется на противоположный при переходе к углу \(180^\circ — \alpha\).

Для тангенса и котангенса действует правило, что \( \tan(180^\circ — \alpha) = -\tan \alpha \) и \( \cot(180^\circ — \alpha) = -\cot \alpha \). Тангенс и котангенс — это отношения синуса и косинуса, и при переходе к углу \(180^\circ — \alpha\) они меняют знак, так как меняется знак косинуса, а синус сохраняет знак. Так, если \( \tan \alpha = -5 \), то \( \tan(180^\circ — \alpha) = -(-5) = 5 \). Аналогично, если \( \cot \alpha = -\frac{1}{3} \), то \( \cot(180^\circ — \alpha) = -\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \).