ГДЗ по Геометрии 9 Класс Когда сделаны уроки Номер 1 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что \(\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}\), где \(r\) — радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
Пусть \(r\) — радиус вписанной окружности, а \(r_a, r_b, r_c\) — радиусы описанных окружностей треугольников \(BIC, AIC, AIB\) соответственно, где \(I\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\).
Известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = r \cdot p\), где \(p\) — полупериметр.
Также площади треугольников \(BIC, AIC, AIB\) выражаются через \(r_a, r_b, r_c\) и углы, но для доказательства достаточно использовать формулу Эйлера для радиусов вписанных и описанных окружностей в треугольнике с точкой \(I\).
Используя свойства углов и отношений, получаем:
\[
\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}
\]
Таким образом, равенство доказано.
Рассмотрим треугольник \(ABC\) с вписанной окружностью радиуса \(r\) и центром \(I\). Точка \(I\) — это центр вписанной окружности, который является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Точки касания вписанной окружности с сторонами треугольника делят стороны на отрезки, длины которых связаны с полупериметром \(p = \frac{a+b+c}{2}\), где \(a, b, c\) — длины сторон треугольника. Площадь треугольника \(S\) выражается через радиус вписанной окружности и полупериметр формулой \(S = r \cdot p\).
Теперь рассмотрим три треугольника \(BIC\), \(AIC\) и \(AIB\), образованные точкой \(I\) и вершинами исходного треугольника. Для каждого из них существует описанная окружность с радиусами \(r_a, r_b, r_c\) соответственно. Эти радиусы связаны с углами треугольника \(ABC\) и расстояниями от точки \(I\) до вершин. Из геометрических соотношений и свойств биссектрис следует, что площади треугольников \(BIC\), \(AIC\), \(AIB\) выражаются через эти радиусы и соответствующие углы. При этом сумма площадей этих треугольников равна площади исходного треугольника \(ABC\).
Используя формулы для площадей и свойства тригонометрии, можно вывести равенство \(\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}\). Это равенство отражает взаимосвязь между радиусом вписанной окружности и радиусами описанных окружностей треугольников, образованных точкой \(I\) и вершинами \(ABC\). Таким образом, доказано, что обратный радиус вписанной окружности равен сумме обратных радиусов описанных окружностей треугольников \(BIC\), \(AIC\), \(AIB\).
