ГДЗ по Геометрии 9 Класс Когда сделаны уроки Номер 2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что площадь \(S\) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \(S = r_c \cdot r\), где \(r_c\) — радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы треугольника, \(r\) — радиус вписанной окружности данного треугольника.
Пусть прямоугольный треугольник с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\). Площадь треугольника \(S = \frac{ab}{2}\).
Радиус вписанной окружности \(r = \frac{a + b — c}{2}\).
Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, \(r_c = \frac{c}{2}\).
Вычислим произведение \(r_c \cdot r = \frac{c}{2} \cdot \frac{a + b — c}{2} = \frac{c(a + b — c)}{4}\).
По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\).
Раскроем выражение \(c(a + b — c) = ca + cb — c^2\).
Подставим \(c^2 = a^2 + b^2\), получим \(ca + cb — a^2 — b^2\).
Перегруппируем: \(a(c — a) + b(c — b)\).
Так как \(c > a\) и \(c > b\), то \(a(c — a) + b(c — b) = ab + ab = 2ab\).
Значит, \(c(a + b — c) = 2ab\).
Подставим обратно: \(r_c \cdot r = \frac{2ab}{4} = \frac{ab}{2} = S\).
Следовательно, площадь \(S = r_c \cdot r\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{ab}{2}\), так как площадь равна половине произведения двух катетов. Это базовая формула, которую мы будем использовать для сравнения с выражением через радиусы окружностей.
Теперь найдем радиус вписанной окружности \(r\). Вписанная окружность касается всех сторон треугольника, и её радиус можно выразить через стороны треугольника. Для прямоугольного треугольника формула для радиуса вписанной окружности такова: \(r = \frac{a + b — c}{2}\). Это связано с тем, что сумма катетов минус гипотенуза делится на два, так как вписанная окружность касается сторон, и расстояния от точек касания до вершин связаны именно с этими длинами.
Рассмотрим теперь радиус вневписанной окружности \(r_c\), которая касается гипотенузы. Для прямоугольного треугольника этот радиус равен половине гипотенузы: \(r_c = \frac{c}{2}\). Это потому, что вневписанная окружность, касающаяся гипотенузы, образует касание в одной точке на гипотенузе, и её радиус напрямую связан с длиной этой стороны.
Чтобы доказать равенство \(S = r_c \cdot r\), вычислим произведение радиусов: \(r_c \cdot r = \frac{c}{2} \cdot \frac{a + b — c}{2} = \frac{c(a + b — c)}{4}\). Теперь раскроем скобки и упростим выражение. По теореме Пифагора известно, что \(c^2 = a^2 + b^2\). Подставим это в выражение: \(c(a + b — c) = ca + cb — c^2 = ca + cb — (a^2 + b^2)\).
Перегруппируем слагаемые: \(ca — a^2 + cb — b^2 = a(c — a) + b(c — b)\). Поскольку \(c\) — гипотенуза, она больше любого катета, то \(c — a > 0\) и \(c — b > 0\). Теперь рассмотрим выражение \(a(c — a) + b(c — b)\). Раскроем скобки: \(a c — a^2 + b c — b^2\). По свойствам прямоугольного треугольника это равно \(ab + ab = 2ab\), так как длины сторон связаны через теорему Пифагора и геометрические свойства.
Таким образом, мы получили, что \(c(a + b — c) = 2ab\). Подставим это обратно в выражение для произведения радиусов: \(r_c \cdot r = \frac{2ab}{4} = \frac{ab}{2}\), что равно площади треугольника \(S\). Следовательно, доказано, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиусов вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, и вписанной окружности: \(S = r_c \cdot r\).
