ГДЗ по Геометрии 9 Класс Когда сделаны уроки Номер 3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равносторонний треугольник со стороной \(a\) вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что отрезок касательной, принадлежащий треугольнику, равен \(b\). Найдите площадь треугольника, который эта касательная отсекает от равностороннего треугольника.

Дано: равносторонний треугольник \( \triangle ABC \), \( AB = a \), \( DE = b \), \( O \) — центр вписанной окружности.

1. Высота треугольника \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \).

2. Радиус вписанной окружности \( r = p \cdot \tan 30^\circ = p \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} a \), где \( p = \frac{a}{2} \).

3. Отрезки \( DB = BE = \frac{a — b}{2} \).

4. Площадь треугольника \( DBE \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot BE \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{a — b}{2} \cdot \frac{a — b}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(a — b)^2 \sqrt{3}}{8} \).

Равносторонний треугольник \( \triangle ABC \) имеет сторону \( AB = a \). В равностороннем треугольнике все стороны равны, а высота опускается из вершины \( B \) на сторону \( AC \). Высоту \( BN \) можно найти по формуле для высоты равностороннего треугольника: \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \). Это важно, потому что отрезок \( DE = b \) лежит на этой высоте, и его длина влияет на размеры треугольника \( DBE \).

Центр вписанной окружности \( O \) находится внутри треугольника и равняется точке пересечения биссектрис. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любой стороны треугольника. Для равностороннего треугольника радиус \( r \) можно выразить через сторону \( a \) как \( r = \frac{\sqrt{3}}{6} a \). Это получается, если взять половину стороны \( p = \frac{a}{2} \) и умножить на \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то есть \( r = p \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} a \).

Длина отрезков \( DB \) и \( BE \) равны, и их можно найти как половину разности между стороной \( a \) и отрезком \( b \), то есть \( DB = BE = \frac{a — b}{2} \). Площадь треугольника \( DBE \) вычисляется по формуле площади через две стороны и угол между ними: \( S = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot BE \cdot \sin 60^\circ \). Подставляя значения, получаем \( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a — b}{2} \cdot \frac{a — b}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(a — b)^2 \sqrt{3}}{8} \).