ГДЗ по Геометрии 9 Класс Когда сделаны уроки Номер 4 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В четырёхугольнике \(ABCD\) диагональ \(BD\) перпендикулярна стороне \(AD\), \(\angle ADC = 135^\circ\), \(\angle BAD = \angle BCD = 60^\circ\). Докажите, что диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\)
Пусть \(A = (0,0)\), \(D = (d,0)\), тогда \(B = (d, \sqrt{3} d)\) по условию перпендикулярности и угла \(60^\circ\). Из угла \(ADC = 135^\circ\) следует, что \(y_C = \pm (x_C — d)\). Из угла \(BCD = 60^\circ\) получается уравнение \(2 u^2 — 2 \sqrt{3} d u + d^2 = 0\), где \(u = x_C — d\). Решая, находим \(u = \frac{d (\sqrt{3} — 1)}{2}\), значит \(C = \left(d + \frac{d (\sqrt{3} — 1)}{2}, \frac{d (\sqrt{3} — 1)}{2}\right)\). Проверка показывает, что угол между \(AB\) и \(AC\), и между \(AC\) и \(AD\) равны \(30^\circ\), значит \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\).
Пусть \(A = (0,0)\), \(D = (d,0)\). Тогда \(BD \perp AD\) значит \(B = (d, y_B)\). Угол \(\angle BAD = 60^\circ\), тогда косинус угла между векторами \(AB\) и \(AD\) равен \(\frac{1}{2}\):
\(\frac{d}{\sqrt{d^2 + y_B^2}} = \frac{1}{2}\), откуда \(y_B^2 = 3 d^2\), значит \(B = (d, \sqrt{3} d)\).
Угол \(\angle ADC = 135^\circ\) между векторами \(DA = (-d,0)\) и \(DC = (x_C — d, y_C)\) даёт:
\(\frac{d — x_C}{\sqrt{(x_C — d)^2 + y_C^2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), значит \(y_C = \pm (x_C — d)\).
Угол \(\angle BCD = 60^\circ\) между векторами \(CB = (d — x_C, \sqrt{3} d — y_C)\) и \(CD = (d — x_C, — y_C)\) даёт уравнение:
\(\frac{(d — x_C)^2 + (\sqrt{3} d — y_C)(- y_C)}{\sqrt{(d — x_C)^2 + (\sqrt{3} d — y_C)^2} \cdot \sqrt{(d — x_C)^2 + y_C^2}} = \frac{1}{2}\).
Подставляя \(y_C = x_C — d = u\), получаем уравнение:
\(2 u^2 — 2 \sqrt{3} d u + d^2 = 0\).
Решая его, получаем
\(u = \frac{d (\sqrt{3} \pm 1)}{2}\).
Берём \(u = \frac{d (\sqrt{3} — 1)}{2}\), тогда
\(C = \left(d + \frac{d (\sqrt{3} — 1)}{2}, \frac{d (\sqrt{3} — 1)}{2}\right)\).
Вектор \(AC = (x_C, y_C)\), угол \(\angle BAD = 60^\circ\), вектор \(AB = (d, \sqrt{3} d)\).
Проверяем, что \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам, то есть углы между \(AB\) и \(AC\), и между \(AC\) и \(AD\) равны.
Косинус угла между \(AB\) и \(AC\):
\(\cos \theta_1 = \frac{AB \cdot AC}{|AB||AC|} = \frac{d x_C + \sqrt{3} d y_C}{d \sqrt{d^2 + 3 d^2} \cdot \sqrt{x_C^2 + y_C^2}}\).
Подставляя значения, получаем \(\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то есть \(\theta_1 = 30^\circ\).
Косинус угла между \(AC\) и \(AD\):
\(\cos \theta_2 = \frac{AC \cdot AD}{|AC||AD|} = \frac{x_C d}{\sqrt{x_C^2 + y_C^2} \cdot d} = \frac{x_C}{\sqrt{x_C^2 + y_C^2}}\).
Подставляя, получаем \(\cos \theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то есть \(\theta_2 = 30^\circ\).
Таким образом, \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам, то есть является биссектрисой.
