ГДЗ по Геометрии 9 Класс Когда сделаны уроки Номер 5 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(120^\circ\). Отрезки \(AN\), \(CF\) и \(BK\) — биссектрисы треугольника \(ABC\). Докажите, что угол \(NKF\) равен \(90^\circ\).
Указание. На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) отметим точку \(M\). Тогда \(\angle MBC = \angle KBC = 60^\circ\), т. е. \(BC\) — биссектриса внешнего угла \(MBK\) треугольника \(ABK\). Отсюда следует, что точка \(N\) — центр вневписанной окружности треугольника \(ABK\). Аналогично можно доказать, что точка \(F\) — центр вневписанной окружности треугольника \(BCK\).
Точка \(N\) — центр вневписанной окружности треугольника \(ABK\), точка \(F\) — центр вневписанной окружности треугольника \(BCK\). Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам \(AB\) и \(BC\). Угол \(ABC = 120^\circ\), значит угол между перпендикулярными к ним отрезками \(NK\) и \(FK\) равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\). Учитывая расположение точек, угол \(NKF = 90^\circ\).
В треугольнике \(ABC\) угол \(B = 120^\circ\). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) отмечена точка \(M\), тогда \(\angle MBC = \angle KBC = 60^\circ\), так как \(BK\) — биссектриса угла \(B\). Это означает, что \(BC\) является биссектрисой внешнего угла \(MBK\) треугольника \(ABK\).
Поскольку \(BC\) — биссектриса внешнего угла, точка \(N\), пересечение биссектрисы \(AN\) с \(BK\), является центром вневписанной окружности треугольника \(ABK\). Аналогично, точка \(F\), пересечение биссектрисы \(CF\) с \(BK\), является центром вневписанной окружности треугольника \(BCK\).
Центры вневписанных окружностей лежат на биссектрисах внешних углов и равноудалены от сторон соответствующих треугольников. Радиусы вневписанных окружностей перпендикулярны сторонам, к которым они касаются.
В треугольнике \(ABK\) радиус вневписанной окружности, проведённый из точки \(N\), перпендикулярен стороне \(AB\). В треугольнике \(BCK\) радиус из точки \(F\) перпендикулярен стороне \(BC\).
Угол между сторонами \(AB\) и \(BC\) равен \(120^\circ\), значит угол между перпендикулярными к ним радиусами из точек \(N\) и \(F\) равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
Точка \(K\) лежит на биссектрисе угла \(B\), поэтому углы между отрезками \(NK\) и \(FK\), исходящими из точки \(K\), дополняют угол в \(60^\circ\) до \(90^\circ\), то есть \(\angle NKF = 90^\circ\).
Таким образом, угол \(NKF\) равен \(90^\circ\).
