ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли угол \( \alpha \), для которого:
1) \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \);
2) \( \sin \alpha = 0,3 \);
3) \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5} \);
4) \( \cos \alpha = -0,99 \);
5) \( \cos \alpha = 1,001 \);
6) \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \)?

1) \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \) — число \( \frac{1}{2} = 0,5 \) лежит между -1 и 1, значит угол существует.
2) \( \sin \alpha = 0,3 \) — число 0,3 лежит между -1 и 1, значит угол существует.
3) \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx \frac{1,732}{5} = 0,3464 \) — число 0,3464 лежит между -1 и 1, значит угол существует.
4) \( \cos \alpha = -0,99 \) — число -0,99 лежит между -1 и 1, значит угол существует.
5) \( \cos \alpha = 1,001 \) — число 1,001 больше 1, значит угол не существует.
6) \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx \frac{2,236}{2} = 1,118 \) — число 1,118 больше 1, значит угол не существует.

Для начала напомним, что значения тригонометрических функций синуса и косинуса всегда лежат в интервале от -1 до 1 включительно. Это означает, что если нам дано значение функции, которое выходит за пределы этого интервала, то угол с таким значением синуса или косинуса не существует. Рассмотрим каждый пример подробнее.

В первом случае задано \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \). Чтобы проверить, возможно ли такое значение, нужно понять, входит ли число \( \frac{1}{2} \) в диапазон от -1 до 1. Число \( \frac{1}{2} \) равно 0,5, а 0,5 лежит между -1 и 1. Значит угол \( \alpha \) с таким синусом существует. Это значение синуса соответствует углу в 30 градусов или \( \frac{\pi}{6} \) радиан. Аналогично, если бы мы взяли отрицательное значение \( -\frac{1}{2} \), угол тоже существовал бы, но находился бы в другой четверти.

Во втором примере \( \sin \alpha = 0,3 \). Число 0,3 также находится в интервале от -1 до 1, поэтому угол существует. Значение синуса 0,3 соответствует некоторому углу между 0 и 90 градусами, но не является стандартным углом с простым значением. Тем не менее, это значение допустимо.

В третьем примере дано \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5} \). Для проверки вычислим приближённое значение: \( \sqrt{3} \approx 1,732 \), значит \( \frac{\sqrt{3}}{5} \approx \frac{1,732}{5} = 0,3464 \). Число 0,3464 лежит в интервале от -1 до 1, следовательно, угол с таким косинусом существует. Это значение косинуса соответствует углу около 70 градусов.

Четвёртый пример — \( \cos \alpha = -0,99 \). Число -0,99 находится очень близко к -1, но всё же внутри интервала от -1 до 1, значит угол существует. Значение косинуса -0,99 соответствует углу, близкому к 180 градусам, но чуть меньше.

Пятый пример — \( \cos \alpha = 1,001 \). Здесь число 1,001 больше 1, что невозможно для косинуса любого угла, так как косинус не может выходить за пределы от -1 до 1. Следовательно, угол с таким косинусом не существует.

В шестом примере дано \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \). Приблизительно \( \sqrt{5} \approx 2,236 \), значит \( \frac{\sqrt{5}}{2} \approx \frac{2,236}{2} = 1,118 \). Число 1,118 больше 1, значит такой синус невозможен, и угол с таким значением синуса не существует.