ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 100 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона треугольника равна 24 см, а радиус описанной окружности — \( \frac{8}{3} \) см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что AB = 24 см, радиус описанной окружности R = 8√3 см. По формуле радиуса описанной окружности: \( R = \frac{AB}{2 \sin \angle C} \). Подставим числа: \( 8\sqrt{3} = \frac{24}{2 \sin \angle C} \). Умножим обе части на \( 2 \sin \angle C \): \( 16 \sqrt{3} \sin \angle C = 24 \). Разделим на \( 16 \sqrt{3} \): \( \sin \angle C = \frac{24}{16 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \angle C = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 60^\circ \) или \( 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \). Ответ: 60°, 120°.

В треугольнике ABC известно, что сторона AB равна 24 см, а радиус описанной окружности равен 8√3 см. Нужно найти угол C, который противолежит стороне AB.

Радиус описанной окружности треугольника связан с его стороной и противолежащим углом формулой \( R = \frac{a}{2 \sin A} \), где \( a \) — длина стороны, а \( A \) — угол напротив этой стороны.

Подставим в формулу известные значения: \( 8\sqrt{3} = \frac{24}{2 \sin \angle C} \).

Упростим выражение в правой части: \( \frac{24}{2 \sin \angle C} = \frac{24}{2} \cdot \frac{1}{\sin \angle C} = 12 \cdot \frac{1}{\sin \angle C} \).

Приравняем левую и правую части: \( 8\sqrt{3} = \frac{12}{\sin \angle C} \).

Чтобы найти \( \sin \angle C \), умножим обе части уравнения на \( \sin \angle C \) и разделим на \( 8\sqrt{3} \): \( \sin \angle C = \frac{12}{8\sqrt{3}} \).

Упростим дробь: \( \sin \angle C = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \).

Домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \( \sin \angle C = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Значение \( \sin \angle C = \frac{\sqrt{3}}{2} \) соответствует углам \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \) в пределах от 0° до 180°.

Таким образом, угол \( \angle C \) может быть равен 60° или 120°.