ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 101 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Трасса для велосипедистов имеет форму треугольника, два угла которого равны \(50^\circ\) и \(100^\circ\). Меньшую сторону этого треугольника один из велосипедистов проезжает за 1 ч. За какое время он проедет всю трассу? Ответ представьте в часах с точностью до десятых.

Дано: \( BC = 1 \) ч, \( \angle B = 100^\circ \), \( \angle C = 50^\circ \).

Найти: \( P_{ABC} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \):

\( \angle A = 180^\circ — \angle B — \angle C = 180^\circ — 100^\circ — 50^\circ = 30^\circ \).

По теореме синусов:

\( \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B} \).

Подставляем значения:

\( \frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 50^\circ} = \frac{AC}{\sin 100^\circ} \).

Вычисляем:

\( AB = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ} \times 1 = \frac{0,766}{0,5} = 1,52 \).

\( AC = \frac{\sin 100^\circ}{\sin 30^\circ} \times 1 = \frac{0,9848}{0,5} = 1,96 \).

Суммируем:

\( P_{ABC} = AB + BC + AC = 1,52 + 1 + 1,96 = 4,5 \) ч.

В треугольнике \( \triangle ABC \) нам даны два угла: \( \angle B = 100^\circ \) и \( \angle C = 50^\circ \), а также сторона \( BC = 1 \) час. Чтобы найти периметр треугольника, нужно знать длины всех сторон, то есть \( AB \), \( BC \) и \( AC \). Для этого сначала определим третий угол \( \angle A \). Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \), поэтому
\( \angle A = 180^\circ — \angle B — \angle C = 180^\circ — 100^\circ — 50^\circ = 30^\circ \).
Это важный шаг, так как теперь у нас есть все три угла треугольника, что позволяет использовать теорему синусов.

Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Запишем это соотношение:
\( \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B} \).
Подставим известные значения: \( BC = 1 \), \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 100^\circ \), \( \angle C = 50^\circ \). Тогда
\( \frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 50^\circ} = \frac{AC}{\sin 100^\circ} \).
Для вычислений нужно знать численные значения синусов:
\( \sin 30^\circ = 0,5 \), \( \sin 50^\circ \approx 0,766 \), \( \sin 100^\circ \approx 0,985 \).

Теперь найдем стороны \( AB \) и \( AC \) по формулам:
\( AB = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ} \times BC = \frac{0,766}{0,5} \times 1 = 1,52 \) часа,
\( AC = \frac{\sin 100^\circ}{\sin 30^\circ} \times BC = \frac{0,985}{0,5} \times 1 = 1,97 \) часа.
Таким образом, мы вычислили длины двух неизвестных сторон треугольника. Теперь можем найти периметр \( P_{ABC} \), сложив все стороны:
\( P_{ABC} = AB + BC + AC = 1,52 + 1 + 1,97 = 4,5 \) часа.
Это и есть искомый результат — сумма всех сторон треугольника, выраженная в часах.