ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 102 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AC = b \), \( \angle A = \alpha \), \( \angle C = \gamma \). Найдите биссектрису \( BD \) треугольника.
Дано: \( BD \) — биссектриса угла \( B \), \( \angle A = \alpha \), \( \angle C = \gamma \), \( AC = b \).
В треугольнике \( ABC \) угол \( B = 180^\circ — \alpha — \gamma \).
По теореме синусов: \( AB = \frac{b \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)} \).
Угол \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = 90^\circ — \frac{\alpha + \gamma}{2} \).
Угол \( \angle BDA = \angle DBC + \angle ACB = 90^\circ — \frac{\alpha + \gamma}{2} + \gamma = 90^\circ — \frac{\alpha — \gamma}{2} \).
Тогда \( \sin \angle BDA = \cos \frac{\alpha — \gamma}{2} \).
В треугольнике \( ABD \) по теореме синусов:
\( \frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{BD}{\sin \alpha} \).
Отсюда
\( BD = \frac{AB \sin \alpha}{\sin \angle BDA} = \frac{\frac{b \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)} \sin \alpha}{\cos \frac{\alpha — \gamma}{2}} = \frac{b \sin \alpha \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma) \cos \frac{\alpha — \gamma}{2}} \).
Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором известны угол \( \angle A = \alpha \), угол \( \angle C = \gamma \) и длина стороны \( AC = b \). Нам нужно найти длину биссектрисы \( BD \), которая делит угол \( B \) пополам и выходит из вершины \( B \) к стороне \( AC \). Для начала вспомним, что сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Значит, угол \( B \) можно выразить через известные углы как \( \angle B = 180^\circ — \alpha — \gamma \). Это важный шаг, потому что он позволяет нам использовать теорему синусов для вычисления других сторон треугольника.
Теперь применим теорему синусов к треугольнику \( ABC \). Теорема синусов говорит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Запишем это так: \( \frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \angle B} \). Из этого равенства выразим сторону \( AB \), подставляя известные значения: \( AB = \frac{AC \sin \gamma}{\sin \angle B} \). Поскольку мы уже нашли \( \angle B = 180^\circ — \alpha — \gamma \), а синус угла \( 180^\circ — x \) равен синусу \( x \), получаем \( AB = \frac{b \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)} \). Это выражение даст нам длину стороны \( AB \) через известные углы и сторону \( b \).
Далее рассмотрим биссектрису \( BD \). По определению, биссектриса делит угол \( B \) пополам, значит угол \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = 90^\circ — \frac{\alpha + \gamma}{2} \). Чтобы найти длину \( BD \), рассмотрим треугольник \( ABD \). В этом треугольнике угол \( \angle BDA \) равен сумме углов \( \angle DBC \) и \( \angle ACB \), так как они смежные: \( \angle BDA = \angle DBC + \angle ACB = 90^\circ — \frac{\alpha + \gamma}{2} + \gamma = 90^\circ — \frac{\alpha — \gamma}{2} \). Тогда синус этого угла равен \( \sin \angle BDA = \cos \frac{\alpha — \gamma}{2} \).
Используя теорему синусов в треугольнике \( ABD \), имеем равенство \( \frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{BD}{\sin \alpha} \). Отсюда выразим длину биссектрисы \( BD \): \( BD = \frac{AB \sin \alpha}{\sin \angle BDA} \). Подставим ранее найденные значения: \( AB = \frac{b \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)} \) и \( \sin \angle BDA = \cos \frac{\alpha — \gamma}{2} \), тогда
\( BD = \frac{\frac{b \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)} \sin \alpha}{\cos \frac{\alpha — \gamma}{2}} = \frac{b \sin \alpha \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma) \cos \frac{\alpha — \gamma}{2}} \).
Таким образом, длина биссектрисы \( BD \) выражена через известные углы и сторону \( b \), что и требовалось найти.
